Olkoon joukko,
joukko siinä määriteltyjä binäärioperaatioita (paria
kutsutaan algebraksi, rengas on siis eräs erikoistapaus algebrasta) ja
ekvivalenssirelaatio joukossa
. Relaatiota
sanotaan kongruenssiksi, jos se
täyttää ehdon
![]() |
kaikilla joukon operaatioilla
ja joukon
alkioilla
ja
(vertaa
lukukongruenssiin).
a) Osoita, että ehdolla
![]() |
määritelty joukon binäärioperaatio on hyvin määritelty eli ehdoista
ja
seuraa
, jos
on kongruenssi. (Tämä
merkitsee, että
on algebra, jos
on kongruenssi.)
b) Olkoon nyt ja
(kommutatiivinen) rengas. Osoita, että
myös
on (kommutatiivinen) rengas, ts. kaikki (kommutatiivisen) renkaan
ehdot periytyvät renkaalta
algebralle
, jos
on kongruenssi.
c) Osoita, että jos on renkaan
ihanne ja
ehdolla
![]() |
määritelty ekvivalenssirelaatio, niin on kongruenssi.
d) Osoita, että on renkaan
ihanne, jos
on kongruenssi.