Ratkaisu:

a) Selvästi $\text{[math]}$ on joukossa $\text{[math]}$ määritelty. Lasku

\text{[math]}

osoittaa assosiatiivisuuden. Neutraalialkio on identiteettikuvaus, $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ . Alkion $\text{[math]}$ käänteisalkio on käänteiskuvaus $\text{[math]}$ .

b) Joukko $\text{[math]}$ on epätyhjä ja selvästi $\text{[math]}$ , jos $\text{[math]}$ , eli $\text{[math]}$ , jos $\text{[math]}$ . Niinpä aliryhmäkriteerin perusteella $\text{[math]}$ on aliryhmä.

c) Identiteettikuvaus ei kuulu joukkoon $\text{[math]}$ , joten se ei ole aliryhmä.