Ratkaisu:

a) Kongruenssiehdosta saadaan suoraan laskemalla $\text{[math]}$ .

b) Ryhmäehtojen osoittamiseksi oletetaan, että alkiot $\text{[math]}$ on valittu mielivaltaisesti. Suoraan laskemalla saadaan

sekä kommutatiivisen ryhmän tapauksessa vielä

\text{[math]}

Koska alkiot $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ ja $\text{[math]}$ oli valittu mielivaltaisesti, toimivat yllä olevat ehdot tietenkin kaikille ryhmän $\text{[math]}$ alkioille ja siis kaikille ryhmän $\text{[math]}$ luokille. Siispä ryhmän $\text{[math]}$ neutraaliluokka on $\text{[math]}$ ja luokan $\text{[math]}$ käänteisluokka $\text{[math]}$ . Huomaa, että kaikki laskut ryhmässä $\text{[math]}$ palautuvat laskuiksi ryhmässä $\text{[math]}$ .

c) Olkoon $\text{[math]}$ ja $\text{[math]}$ mielivaltaisesti valittuja ryhmän $\text{[math]}$ alkioita ja oletetaan, että $\text{[math]}$ ja $\text{[math]}$ . Silloin $\text{[math]}$ ja $\text{[math]}$ , joillakin ryhmän $\text{[math]}$ alkioilla $\text{[math]}$ ja $\text{[math]}$ . Koska $\text{[math]}$ on normaali aliryhmä, on $\text{[math]}$ , jollakin alkiolla $\text{[math]}$ . Nyt saadaan

\text{[math]}

eli $\text{[math]}$ . Koska kongruenssiehto toimii mielivaltaisesti valituille alkioille, toimii se silloin kaikille ryhmän $\text{[math]}$ alkioille. Siispä $\text{[math]}$ on kongruenssi.

d) Osoitetaan ensin aliryhmäkriteerin avulla, että $\text{[math]}$ on ryhmän $\text{[math]}$ aliryhmä. Luonnollisesti $\text{[math]}$ on epätyhjä, koska ainakin $\text{[math]}$ . Oletetaan sitten, että $\text{[math]}$ ja $\text{[math]}$ . Silloin relaation $\text{[math]}$ reﬂeksiivisyydestä ja kongruenssiehdosta saadaan

\text{[math]}

eli $\text{[math]}$ . Siispä ainakin $\text{[math]}$ on ryhmän $\text{[math]}$ aliryhmä. Osoitetaan vielä normaalius. Olkoon $\text{[math]}$ ja $\text{[math]}$ mielivaltaisesti valittuja alkioita. Koska $\text{[math]}$ on ekvivalenssirelaatio on $\text{[math]}$ ja $\text{[math]}$ . Silloin kongruenssiehdon avulla saadaan ensin $\text{[math]}$ ja sitten $\text{[math]}$ , eli $\text{[math]}$ . Jälleen tämä päättely toimii yhtä hyvin kaikilla alkioilla $\text{[math]}$ ja $\text{[math]}$ , jolloin aliryhmän normaalisuuskriteerin perusteella $\text{[math]}$ on ryhmän $\text{[math]}$ normaali aliryhmä.