Ratkaisu:

a) Ryhmät $\text{[math]}$ ja $\text{[math]}$ ovat Abelin ryhmiä, joten samoin on niiden karteesinen tulo $\text{[math]}$ . Nimittäin

\text{[math]}

kaikilla alkioilla $\text{[math]}$ . Toisaalta kaikki Abelin ryhmän aliryhmät ovat normaaleja.

b) $\text{[math]}$ , koska $\text{[math]}$ .

c) Huomaa aluksi, että

\text{[math]}

kaikilla luvuilla $\text{[math]}$ . Niinpä edustajistoksi $\text{[math]}$ voidaan valita joukko $\text{[math]}$ .

d) Valitun edustajiston $\text{[math]}$ ansiosta laskeminen ryhmässä $\text{[math]}$ on nyt helppoa. Nimittäin

\text{[math]}

kaikilla $\text{[math]}$ .

e) Kohdasta d) nähdään välittömästi, että ryhmä $\text{[math]}$ on isomorﬁnen ryhmän $\text{[math]}$ kanssa, joten $\text{[math]}$ on syklinen.