Ratkaisu: Voidaan olettaa, että kyseinen isomorﬁsmi on $\text{[math]}$ .

a) Olkoon alkiot $\text{[math]}$ valittu mielivaltaisesti. Koska $\text{[math]}$ on surjektio, on olemassa jotkin alkiot $\text{[math]}$ , jotka ovat alkioiden $\text{[math]}$ ja $\text{[math]}$ alkukuvia, eli $\text{[math]}$ ja $\text{[math]}$ . Silloin

\text{[math]}

Edellä oleva pätee kaikille alkioille $\text{[math]}$ , koska se pätee mielivaltaisesti valituillekin. Siispä $\text{[math]}$ on kommutatiivinen.

b) Olkoon $\text{[math]}$ ja $\text{[math]}$ . Osoitetaan, että $\text{[math]}$ . Olkoon siis $\text{[math]}$ valittu mielivaltaisesti. Silloin on olemassa alkio $\text{[math]}$ , jonka kuva $\text{[math]}$ on. Nyt on olemassa jokin luku $\text{[math]}$ , jolla $\text{[math]}$ . Saadaan

\text{[math]}

eli $\text{[math]}$ . Jälleen edellä sanottu pätee kaikille alkioille $\text{[math]}$ , joten $\text{[math]}$ on syklinen.