Ratkaisu:

a) Alirenkaan määritelmästä nähdään, että on löydettävä sellainen rengas , jolla on yhtälön toteuttava alkio , joka toimii renkaan ykkösalkiona . Itse asiassa tällöin voidaan valita , eli on nollarengas. Tässä ei kannata mennä merta edemmäs kalaan, eli riittää valita . Oletetaan vielä, että ja . Näistä yhtälöistä saadaan yhteenlaskun kommutatiivisuuden ja distributiivilain avulla ja , , . Alla on yhteen- ja kertolaskutaulut:

Osoitetaan vielä kertolaskun assosiatiivisuus. Oletetaan, että , ja , , . Saadaan

Distributiivisuus voidaan osoittaa samaan tapaan ja yhteenlaskun assosiatiivisuus ja kommutatiivisuus ovat triviaaleja.

b) Nyt on puolestaan löydettävä sellainen rengas , jolla on yhtälöt ja toteuttavat alkiot ja . Nyt voidaan valita , jossa , ja . Näistä yhtälöistä saadaan

ja
, . Yhteenlaskutaulu on
ja kertolaskutaulu
Distributiivisuus ja operaatioiden assosiatiivisuudet voidaan todistaa samaan tapaan kuin a)-kohdassa. Saadaan , missä .

c) Yleistetään edellä saadut tulokset. Olkoon , missä , , , jos , ja . Oletetaan, että , ja . Tässä voidaan olettaa, että lisäämällä alkioiden perään tarvittaessa nollatermejä. Nyt yhteen- ja kertolasku näyttävät seuraavanlaisilta:

Nähdään, että

Muiden ehtojen todistaminen on suoraviivaista. Huomataan, että , Joten , missä , on rengas ja .