Ratkaisu:

a) Käytetään alirengaskriteeriä. $\text{[math]}$ . Kaikilla luvuilla $\text{[math]}$ on $\text{[math]}$ . Tämä luku ei välttämättä ole supistettu, mutta sen nimittäjä $\text{[math]}$ on pariton, joten vastaavan supistetun muodonkin nimittäjä on pariton. Siispä kyseinen erotus kuuluu joukkoon $\text{[math]}$ . Lopuksi nähdään, että $\text{[math]}$ . Siispä $\text{[math]}$ on renkaan $\text{[math]}$ alirengas.

b) Joukko $\text{[math]}$ ei ole alirengas, sillä $\text{[math]}$ .

c) Joukko $\text{[math]}$ on alirengas, mikä nähdään jälleen alirengaskriteerin avulla a)-kohdan tapaan. Huomaa nimittäin, että luku $\text{[math]}$ on myös kakkosen potenssi, $\text{[math]}$ .

d) Renkaan $\text{[math]}$ yksikköryhmä on joukko $\text{[math]}$ ja $\text{[math]}$ ovat molemmat parittomia $\text{[math]}$ , koska $\text{[math]}$ . Renkaan $\text{[math]}$ yksikköryhmä on $\text{[math]}$ , koska luku $\text{[math]}$ on käänteisalkionsa $\text{[math]}$ nimittäjä.