Ratkaisu:

\text{[math]}

b) Distributiivilaista ja a-kohdasta seuraa

aina kun $\text{[math]}$ .

c) b-kohdan mukaan $\text{[math]}$ , kaikilla $\text{[math]}$ . Niinpä alkion $\text{[math]}$ käänteisalkio on $\text{[math]}$ .

d) Käytetään alirengaskriteeriä. Ensinnäkin ykkösalkio eli identiteettimatriisi $\text{[math]}$ kuuluu triviaalisti joukkoon $\text{[math]}$ . Oletetaan, että matriisit $\text{[math]}$ on valittu mielivaltaisesti. Silloin

Kolmanneksi

e) Olkoon kuvaus $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ . Selvästi $\text{[math]}$ on bijektio. Näytetään, että se on homomorﬁsmi, eli isomorﬁsmi. Oletetaan, että alkiot $\text{[math]}$ on valittu mielivaltaisesti. Silloin ensinnäkin

Toiseksi d-kohdan avulla saadaan

Kolmanneksi

\text{[math]}