Ratkaisu:

a) $\text{[math]}$ , jos ja vain jos $\text{[math]}$ , jos ja vain jos $\text{[math]}$ jakaa luvun $\text{[math]}$ . Siispä $\text{[math]}$ on nilpotentti, jos ja vain jos $\text{[math]}$ on parillinen.

b) Tällä kertaa $\text{[math]}$ on nilpotentti, jos ja vain jos sekä kolme että viisi jakavat luvun $\text{[math]}$ . Välillä $\text{[math]}$ vain luku $\text{[math]}$ täyttää tämän ehdon.

c) Oletetaan, että $\text{[math]}$ , jollakin kokonaisluvulla $\text{[math]}$ . Silloin

\text{[math]}

eli $\text{[math]}$ on alkion $\text{[math]}$ käänteisalkio. Siispä $\text{[math]}$ .