Ratkaisu:

a) Kongruenssiehdosta saadaan suoraan laskemalla $\text{[math]}$ .

b) Kohdasta a) seuraa, että operaatiot $\text{[math]}$ ja $\text{[math]}$ ovat hyvinmääritellyt myös joukolle $\text{[math]}$ . Renkaan $\text{[math]}$ laskulait palautuvat renkaan $\text{[math]}$ laeiksi. Renkaassa $\text{[math]}$ on $\text{[math]}$ ja $\text{[math]}$ sekä luokan $\text{[math]}$ käänteisluokka $\text{[math]}$ . Näytetään esimerkiksi distributiivilaki. Oletetaan, että alkiot $\text{[math]}$ on valittu mielivaltaisesti. Saadaan

Koska alkiot $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ ja $\text{[math]}$ oli valittu mielivaltaisesti, toimivat yllä olevat ehdot tietenkin kaikille renkaan $\text{[math]}$ alkioille ja siis kaikille renkaan $\text{[math]}$ luokille.

c) Olkoon $\text{[math]}$ ja $\text{[math]}$ mielivaltaisesti valittuja renkaan $\text{[math]}$ alkioita ja oletetaan, että $\text{[math]}$ ja $\text{[math]}$ . Silloin $\text{[math]}$ ja $\text{[math]}$ , joillakin ihanteen $\text{[math]}$ alkioilla $\text{[math]}$ ja $\text{[math]}$ . Koska $\text{[math]}$ on kommutatiivinen ryhmä saadaan

\text{[math]}

eli $\text{[math]}$ . Koska $\text{[math]}$ on ihanne, niin $\text{[math]}$ . Nyt saadaan

\text{[math]}

eli $\text{[math]}$ . Koska kongruenssiehto toimii mielivaltaisesti valituille alkioille, toimii se silloin kaikille renkaan $\text{[math]}$ alkioille. Siispä $\text{[math]}$ on kongruenssi.

d) Osoitetaan väite Ihannekriteerin avulla. Luonnollisesti $\text{[math]}$ on epätyhjä, koska ainakin $\text{[math]}$ . Oletetaan sitten, että $\text{[math]}$ ja $\text{[math]}$ . Silloin relaation $\text{[math]}$ reﬂeksiivisyydestä ja kongruenssiehdosta saadaan

eli $\text{[math]}$ . Siispä $\text{[math]}$ on renkaan $\text{[math]}$ ihanne.