Ratkaisu: Olkoon $\text{[math]}$ jokin mielivaltaisesti valittu, nollasta eroava, renkaan $\text{[math]}$ ihanne ja $\text{[math]}$ nollamatriisista eroava matriisi. Määritetään aluksi neljä ihanteesta $\text{[math]}$ löytyvää matriisia:

Nyt huomataan, että esimerkiksi $\text{[math]}$ , jos ja vain jos $\text{[math]}$ on nollamatriisi. Samoin $\text{[math]}$ , jos ja vain jos $\text{[math]}$ , jne. Niinpä ainakin yksi näistä neljästä matriisista $\text{[math]}$ eroaa nollamatriisista. Oletetaan nyt esimerkiksi, että $\text{[math]}$ poikkeaa nollamatriisista (muut tapaukset käsitellään vastaavasti). On helppo havaita, että jos jotakin matriisia kerrotaan vasemmalta matriisilla $\text{[math]}$ , vaihtavat sen vaakarivit paikkoja. Vastaavasti oikealta kertomalla vaihtavat pystysarakkeet paikkoja. Niinpä löydetään kaksi uutta ihanteen $\text{[math]}$ matriisia:

Nyt säännöllinen diagonaalimatriisi $\text{[math]}$ kuuluu ihanteeseen $\text{[math]}$ , jolloin myös identiteettimatriisi, eli renkaan $\text{[math]}$ ykkösalkio, $\text{[math]}$ . Silloin $\text{[math]}$ , eli $\text{[math]}$ . Koska $\text{[math]}$ , ja samalla $\text{[math]}$ , oli valittu mielivaltaisesti, ei renkaassa $\text{[math]}$ ole muita ihanteita triviaalien ihanteiden $\text{[math]}$ ja $\text{[math]}$ lisäksi.