Ratkaisu:

a) Näytetään alirengaskriteerillä, että $\text{[math]}$ on renkaan $\text{[math]}$ alirengas. Ensinnäkin $\text{[math]}$ kuuluu joukkoon $\text{[math]}$ . Toiseksi yläkolmiomatriisien erotus on triviaalisti edelleen yläkolmiomatriisi. Lasketaan vielä yläkolmiomatriisien tulo:

\text{[math]}

b) Nolla-alkiona toimii $\text{[math]}$ ja ykkösalkiona $\text{[math]}$ . Kaikki rengaspostulaattien todistukset ovat suoraviivaisia laskuja. Näytetään esimerkkinä ensimmäinen distributiivilaeista:

c) Oletetaan, että $\text{[math]}$ . Silloin

\text{[math]}

\text{[math]}

Lisäksi renkaan $\text{[math]}$ identiteettialkio $\text{[math]}$ kuvautuu alkioksi $\text{[math]}$ .

d) Matriisi $\text{[math]}$ kuuluu ytimeen $\text{[math]}$ , jos ja vain jos $\text{[math]}$ , jos ja vain jos $\text{[math]}$ . Siispä ytimeksi saadaan $\text{[math]}$ . Kuvaus $\text{[math]}$ on selvästi surjektio, eli kuvaksi $\text{[math]}$ saadaan koko rengas $\text{[math]}$ .

e) Renkaiden homomorﬁalauseesta saadaan nyt isomorﬁsmi

\text{[math]}

missä $\text{[math]}$ .

f) Joukko $\text{[math]}$ on triviaalisti renkaan $\text{[math]}$ alirengas (alirengaskriteeri). Kuvaus $\text{[math]}$ rajoitettuna tähän alirenkaaseen on selvästi injektio ja surjektio, eli siis isomorﬁsmi.