Ratkaisu: On osoitettava, että $\text{[math]}$ on kommutatiivinen ja että sen kaikilla nollasta eroavilla alkioilla on käänteisalkio. Oletetaan siksi, että alkiot $\text{[math]}$ on valittu sattumanvaraisesti ja $\text{[math]}$ .

Alkion $\text{[math]}$ kertaluku additiivisessa ryhmässä $\text{[math]}$ on suurempi kuin yksi, joten sen täytyy olla $\text{[math]}$ , koska Lagrangen lauseen seurauslauseen mukaan tämä kertaluku jakaa ryhmän $\text{[math]}$ kertaluvun $\text{[math]}$ , joka oletettiin alkuluvuksi. Tämä merkitsee sitä, että $\text{[math]}$ generoi ryhmän $\text{[math]}$ . Silloin on olemassa positiivinen kokonaisluku $\text{[math]}$ , jolla $\text{[math]}$ . Tällöin renkaan $\text{[math]}$ distributiivisuudesta seuraa

\text{[math]}

eli $\text{[math]}$ on kommutatiivinen rengas.

Koska $\text{[math]}$ generoi ryhmän $\text{[math]}$ , on olemassa positiivinen kokonaisluku $\text{[math]}$ , jolla renkaan $\text{[math]}$ ykkösalkio on $\text{[math]}$ . Toisaalta renkaan $\text{[math]}$ distributiivisuuden vuoksi

\text{[math]}

joten alkion $\text{[math]}$ käänteisalkio on $\text{[math]}$ . Koska $\text{[math]}$ valittiin mielivaltaisesti, on siis jokaisella renkaan $\text{[math]}$ nollasta eroavalla alkiolla käänteisalkio.