Ratkaisu:

a) $\text{[math]}$ on itse asiassa rationaalilukujen kunta $\text{[math]}$ itse, sillä

\text{[math]}

$\text{[math]}$ ei voi olla alirengas, sillä kunnan $\text{[math]}$ ykkösalkio, eli luku $\text{[math]}$ , ei kuulu siihen. Joukkoihin $\text{[math]}$ ja $\text{[math]}$ luku $\text{[math]}$ sen sijaan kuuluu. Lisäksi

aina kun $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ . Niinpä $\text{[math]}$ ja $\text{[math]}$ ovat molemmat alirenkaita. Ne eivät kuitenkaan kumpikaan ole alikuntia, koska luvun $\text{[math]}$ käänteisluku $\text{[math]}$ ei kuulu renkaaseen $\text{[math]}$ ja luvun $\text{[math]}$ käänteisluku $\text{[math]}$ ei puolestaan kuulu renkaaseen $\text{[math]}$ .

b) $\text{[math]}$ on kuntana triviaalisti myös lokaali rengas, sillä ainoa epäyksikkö nolla muodostaa yksinään nollaihanteen. Renkaan $\text{[math]}$ osalta havaitaan, että

\text{[math]}

$\text{[math]}$ on ihannekriteerin mukaan ihanne, sillä se on epätyhjä sekä

aina kun $\text{[math]}$ ja $\text{[math]}$ . Siispä $\text{[math]}$ on myös lokaali rengas. Sen sijaan $\text{[math]}$ ei ole lokaali rengas, koska esimerkiksi luvut $\text{[math]}$ ja $\text{[math]}$ ovat epäyksikköjä, eli kuuluvat joukkoon $\text{[math]}$ , mutta niiden erotus $\text{[math]}$ onkin yksikkö. Jos nimittäin $\text{[math]}$ olisi ihanne, pitäisi myös tämän erotuksen kuulua siihen.

c) $\text{[math]}$ on maksimaalinen, jos ja vain jos jäännösluokkarengas $\text{[math]}$ on kunta. Riittää siis näyttää, että mielivaltaisesti valitulla alkiolla $\text{[math]}$ on käänteisalkio. Koska $\text{[math]}$ eroaa nolla-alkiosta, niin $\text{[math]}$ ei kuulu ihanteeseen $\text{[math]}$ , eli alkiolla $\text{[math]}$ on käänteisalkio $\text{[math]}$ renkaassa $\text{[math]}$ . Silloin alkion $\text{[math]}$ käänteisalkio jäännösluokkarenkaassa $\text{[math]}$ on luonnollisesti $\text{[math]}$ .