Ratkaisu:

a) Olkoon kuvaus $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ . Tämä kuvaus on selvästi homomorﬁsmi, koska renkaan ykkösalkio, vakiopolynomi $\text{[math]}$ , kuvautuu luvuksi $\text{[math]}$ sekä kahden polynomin summan ja tulon arvot pisteessä nolla ovat vastaavien polynomien nollapisteiden arvojen summa ja tulo. Kuvauksen ytimen muodostavat ne polynomit, jotka saavat arvoksi nollan pisteessä nolla. Nämä ovat täsmälleen ne polynomit, joiden vakiotermi on nolla, eli jotka ovat jaollisia polynomilla $\text{[math]}$ . Siis ydin on polynomin $\text{[math]}$ generoima ihanne. Kuvaus $\text{[math]}$ on selvästi surjektio, eli kuvaksi saadaan kunta. Tämä tarkoittaa sitä, että $\text{[math]}$ on maksimaalinen ihanne. Saman olisi voinut päätellä suoraankin. Oletetaan, että $\text{[math]}$ ja $\text{[math]}$ . Silloin polynomin $\text{[math]}$ vakiotermi $\text{[math]}$ eroaa nollasta. Nyt $\text{[math]}$ , joten $\text{[math]}$ . Edelleen $\text{[math]}$ , joten $\text{[math]}$ .

b) Olkoon $\text{[math]}$ sama kuin a-kohdan kuvaus $\text{[math]}$ , mutta rajoitettuna renkaaseen $\text{[math]}$ . Silloin $\text{[math]}$ on myös homomorﬁsmi, jonka ydin on polynomin $\text{[math]}$ generoima ihanne. Tällä kertaa kyseinen ihanne ei kuitenkaan ole maksimaalinen, sillä kuva $\text{[math]}$ ei nyt olekaan kunta. Esimerkiksi $\text{[math]}$ , missä ihanne $\text{[math]}$ sisältää kaikki sellaiset polynomit, joiden vakiotermi on parillinen.