Ratkaisu:

a) Oletetaan, että polynomit $\text{[math]}$ ja $\text{[math]}$ on valittu mielivaltaisesti. Silloin $\text{[math]}$ ja $\text{[math]}$ , joillakin kokonaisluvuilla $\text{[math]}$ ja $\text{[math]}$ . Tästä seuraa, että

eli $\text{[math]}$ . Selvästi $\text{[math]}$ , joten $\text{[math]}$ ei ole tyhjä. Siispä ihannekriteerin mukaan $\text{[math]}$ on ihanne.

b) Näytetään ensin, että $\text{[math]}$ . Oletetaan siis, että $\text{[math]}$ . Silloin

\text{[math]}

joillakin kokonaisluvuilla $\text{[math]}$ . Näytetään toiseksi, että $\text{[math]}$ . Oletetaan, että $\text{[math]}$ ja $\text{[math]}$ . Silloin $\text{[math]}$ on parillinen luku, eli $\text{[math]}$ . Siispä $\text{[math]}$ .

c) Näytetään, ettei $\text{[math]}$ ole pääihanne. Tehdään sellainen vastaoletus, että $\text{[math]}$ . Nyt

\text{[math]}

joten $\text{[math]}$ , eli $\text{[math]}$ on vakiopolynomi, koska vakiopolynomi $\text{[math]}$ kuluu ihanteeseen $\text{[math]}$ . Toisaalta myös polynomi $\text{[math]}$ kuuluu ihanteeseen $\text{[math]}$ , eli on olemassa polynomi $\text{[math]}$ , jolla $\text{[math]}$ . Tällöin polynomin $\text{[math]}$ johtavan kertoimen $\text{[math]}$ itseisarvon on oltava yksi. Siispä $\text{[math]}$ . Mutta silloin myös vakiopolynomi $\text{[math]}$ kuuluu ihanteeseen $\text{[math]}$ , mikä on ristiriita. Siispä $\text{[math]}$ ei ole pääihanne, eikä $\text{[math]}$ pääihannerengas.