XML

Eulerin yhtälön muuntaminen ja ratkaiseminen

Lineaarista ja homogeenista differentiaaliyhtälöä

P_{n} (x) y^{(n)} + P_{n - 1} (x) y^{(n - 1)} + \dots + P_{1} (x) y^{'} + P_{0} (x) y = 0

kutsutaan Eulerin yhtälöksi, jos kerroinfunktiot ovat muotoa $P_{k} (x) = a_{k} x^{k}$ , missä luvut $a_{k}$ ovat vakioita.

Tämä voidaan muuntaa vakiokertoimiseksi yhtälöksi sijoituksella $x = e^{t}$ eli $t = ln x$ . Tällöin on rajoituttava arvoihin $x > 0$ . Tuntemattoman funktion $y (x)$ sijaan tulee tällöin uusi tuntematon funktio $u (t)$ :

y (x) = y (e^{t}) = u (t) .

Funktion $u$ derivaatat ovat

\begin{array}{l} u^{'} (t) & = y^{'} (x) e^{t}, \\ u^{''} (t) & = y^{''} (x) {(e^{t})}^{2} + y^{'} (x) e^{t}, \\ u^{'''} (t) & = y^{'''} (x) {(e^{t})}^{3} + 3 y^{''} (x) {(e^{t})}^{2} + y^{'} (x) e^{t}, \\ \dots \end{array}

Ratkaisemalla näistä perättäin funktio $y$ ja sen derivaatat saadaan

\begin{array}{l} y (x) & = u (t), \\ y^{'} (x) & = e^{- t} u^{'} (t) = x^{- 1} u^{'} (t), \\ y^{''} (x) & = e^{- 2 t} (u^{''} (t) - u^{'} (t)) = x^{- 2} (u^{''} (t) - u^{'} (t)), \\ y^{'''} (x) & = e^{- 3 t} (u^{'''} (t) - 3 u^{''} (t) + 2 u^{'} (t)) = x^{- 3} (u^{'''} (t) - 3 u^{''} (t) + 2 u^{'} (t)), \\ \dots \end{array}

Kun nämä sijoitetaan alkuperäiseen yhtälöön, supistuvat kerroinfunktioissa olevat muuttujan $x$ potenssit pois ja jäljelle jää funktiota $u (t)$ koskeva vakiokertoiminen yhtälö.

Tämän perusratkaisut ovat muotoa $u (t) = e^{r_{k} t}$ tai yhtyvien juurien tapauksessa muotoa $u (t) = t^{p} e^{r_{k} t}$ , $p = 1, 2, \dots$ . Palaamalla muuttujaan $x$ saadaan

y (x) = u (t) = u (ln x) = x^{r_{k}}

tai yhtyvien juurien tapauksessa $y (x) = {(ln x)}^{p} x^{r_{k}}$ .

Jos kerroin $r_{k}$ on kompleksinen, ts. $r_{k} = α_{k} + i β_{k}$ , on syytä ensin lausua eksponenttimuotoinen ratkaisu reaalimuodossa ja vasta tämän jälken sijoittaa $t = ln x$ :

y (x) = u (t) = e^{α_{k} t} [C_{1} cos (β_{k} t) + C_{2} sin (β_{k} t)] = x^{α_{k}} [C_{1} cos (β_{k} ln x) + C_{2} sin (β_{k} ln x)] .

Eulerin yhtälö ratkaistaankin edellä sanottuun perustuen yleensä yritteellä $y = x^{r}$ , jolloin siirtymistä uuteen muuttujaan $t$ ei tarvitse tehdä. Yritteen sijoittaminen yhtälöön antaa astetta $n$ olevan polynomiyhtälön eksponentille $r$ .

Linkkejä

Eulerin yhtälö, esimerkki
yhtälön muuntaminen sijoituksella
Eulerin yhtälön muuntaminen vakiokertoimiseksi symbolisella ohjelmalla (mma-versio)
Eulerin yhtälön muuntaminen vakiokertoimiseksi symbolisella ohjelmalla (mpl-versio)

Simo K. Kivelä 10.4.2001