Ensimmäiseen kertalukuun palautuvat korkeampien kertalukujen yhtälöt

Toisen ja korkeamman kertaluvun yhtälöt voidaan kirjoittaa normaaliryhmän muotoon ja eräissä tapauksissa palauttaa tätä kautta ensimmäiseen kertalukuun.

Tavallisimmat tapaukset ovat seuraavat:

1) Jos toisen kertaluvun yhtälö on muotoa $y^{\prime \prime }=f\left(x,y^{\prime }\right)$, on vastaava normaaliryhmä

Tässä jälkimmäinen yhtälö on ensimmäistä kertalukua tuntemattomana funktiona $z$. Tämän ratkaisuna on $z\left(x\right)=y^{\prime }\left(x\right)$, jolloin $y\left(x\right)$ saadaan yhdellä lisäintegroinnilla.

2) Jos yhtälö on muotoa $y^{\prime \prime }=f\left(y,y^{\prime }\right)$ — jolloin se on autonominen — on normaaliryhmä

Jos oletetaan, että jollakin tarkastelualueen osavälillä on olemassa ratkaisufunktion käänteisfunktio $x=g\left(y\right)$, pätee yhdistetyn funktion $z\left(g\left(y\right)\right)=z\left(x\right)=y^{\prime }\left(x\right)$ derivaatalle ketjusäännön mukaan

Täten päädytään ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöön

joka kuvaa muuttujien $y$ ja $z$ välistä riippuvuutta. Yhtälöön päästään myös jakamalla normaaliryhmän yhtälöt puolittain ja supistamalla $dx$ pois derivaattasymboleissa $\frac{dy}{dx}$ ja $\frac{dz}{dx}$.

Tuloksena on siis ensimmäisen kertaluvun yhtälö. Tämän ratkaisu on periaatteessa muotoa $z=h\left(y\right)$ tai $H\left(y,z\right)=0$. Kyseessä on normaaliryhmän ratkaisun $y\left(x\right)$, $z\left(x\right)=y^{\prime }\left(x\right)$ faasitasoesityksen yhtälö.

Vastaavanlaisia menettelyjä voidaan toisinaan käyttää myös kolmannen ja korkeampien kertalukujen yhtälöiden palauttamisessa ensimmäiseen kertalukuun.

Linkkejä

toisen kertaluvun yhtälön palauttaminen ensimmäiseen kertalukuun ja ratkaiseminen separoimalla, esimerkki
kolmannen kertaluvun yhtälön palauttaminen ensimmäiseen kertalukuun ja ratkaiseminen separoimalla, esimerkki
vakiokertoimisen lineaariyhtälön faasitasoesitys, esimerkki
normaaliryhmä
faasitaso

Simo K. Kivelä 10.4.2001