XML

Ensimmäisen kertaluvun lineaarinen ja homogeeninen yhtälö

Ensimmäisen kertaluvun normaalimuotoinen homogeeniyhtälö on $y^{'} + P_{0} (x) y = 0$ , missä kerroinfunktio $P_{0} (x)$ oletetaan jatkuvaksi tarkasteluvälillä.

Kyseessä on separoituva yhtälö

\frac{d y}{y} = - P_{0} (x) d x,

jonka puolittainen integrointi johtaa yleiseen ratkaisuun

y = C e^{- \int P_{0} (x) d x} .

Integroitaessa tarvittava vakio on aluksi kirjoitettu muotoon $ln ∣ C ∣$ . Tästä huolimatta myös arvo $C = 0$ on mahdollinen, ts. $y = 0$ kaikilla $x$ , kuten nähdään suoraan alkuperäisestä yhtälöstä.

Jos on annettu alkuehto $y (x_{0}) = y_{0}$ , voidaan puolittainen integrointi tehdä määrättynä integraalina:

\int_{x_{0}}^{x} \frac{d y}{y} = - \int_{x_{0}}^{x} P_{0} (x) d x .

Tällöin ratkaisu saa muodon

y = y_{0} e^{- \int_{x_{0}}^{x} P_{0} (x) d x} .

Ratkaisun periaatteellinen muoto on $y = C y_{1} (x)$ , missä $y_{1} (x)$ tarkoittaa mitä tahansa nollafunktiosta eroavaa (ts. lineaarisesti riippumatonta) yhtälön yksittäisratkaisua.

Linkkejä

ensimmäisen kertaluvun lineaariyhtälö, esimerkki
homogeeniyhtälön ratkaisujoukko
funktioiden lineaarinen riippumattomuus

Simo K. Kivelä 10.4.2001