Toisen kertaluvun lineaarinen ja homogeeninen yhtälö

Toisen kertaluvun normaalimuotoinen homogeeniyhtälö on $y^{\prime \prime }+P_1\left(x\right)y^{\prime }+P_0\left(x\right)y=0$, missä kerroinfunktiot $P_0\left(x\right)$ ja $P_1\left(x\right)$ oletetaan jatkuviksi tarkasteluvälillä.

Yleisen teorian mukaan tämän ratkaisu on muotoa

missä $y_1\left(x\right)$ ja $y_2\left(x\right)$ ovat yhtälön lineaarisesti riippumattomia yksittäisratkaisuja, ts. muodostavat perusjärjestelmän.

Yleistä, so. kaikissa tapauksissa toimivaa menettelyä ratkaisujen $y_1\left(x\right)$ ja $y_2\left(x\right)$ etsimiseen ei ole. Usein ne pyritään löytämään arvaamalla niiden muoto ja käyttämällä tämän perusteella valittua yritettä.

Jos toinen ratkaisuista tunnetaan, on toisen etsimiseen olemassa seuraava yleinen menettely:

Olkoon $y_1\left(x\right)$ tunnettu ratkaisu. Pyritään etsimään toinen lineaarisesti riippumaton ratkaisu muodossa $y_2\left(x\right)=u\left(x\right)y_1\left(x\right)$, missä $u\left(x\right)$ on tuntematon funktio, ts. käytetään yritettä $y=u\left(x\right)y_1\left(x\right)$. Kun tämä ja sen derivaatat $y^{\prime }=u^{\prime }{y}_1+u{y}_1^{\prime }$, $y^{\prime \prime }=u^{\prime \prime }{y}_1+2u^{\prime }{y}_1^{\prime }+u{y}_1^{\prime \prime }$ sijoitetaan yhtälöön ja termit ryhmitellään sopivasti, saadaan

Koska $y_1$ toteuttaa differentiaaliyhtälön, on ensimmäinen kolmesta termistä $=0$. Muut kaksi antavat funktiolle $u$ toisen kertaluvun differentiaaliyhtälön

jota vastaava normaaliryhmä on

Tässä jälkimmäinen yhtälö on separoituva ja sen ratkaiseminen antaa funktion $v$ (koska $P_1$ ja $y_1$ tunnetaan), minkä jälkeen $u$ saadaan yhdellä lisäintegroinnilla.

Funktio $u$ on siis periaatteessa aina ratkaistavissa. Kaikki integroinnit eivät kuitenkaan välttämättä onnistu alkeisfunktioiden avulla.

Funktio $u$ ei ole yksikäsitteinen. Ongelman luonteesta kuitenkin seuraa, että kaikkia mahdollisia funktioita $u$ ei tarvitse määrittää; riittää, että löydetään yksi, joka ei ole vakio (jotta saadaan lineaarisesti riippumattomat $y_1$ ja $y_2$).

Linkkejä

perusratkaisujen löytäminen yritteellä, esimerkki
Airyn differentiaaliyhtälö (mma-versio)
Airyn differentiaaliyhtälö (mpl-versio)
toisen perusratkaisun löytäminen yleisellä menettelyllä, esimerkki
homogeeniyhtälön ratkaisujoukko
normaaliryhmä
ensimmäiseen kertalukuun palautuva toisen kertaluvun yhtälö (kohta 1)
separoituva yhtälö

Simo K. Kivelä 10.4.2001