Separoituva yhtälö

Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on separoituva, jos se voidaan kirjoittaa muotoon $f\left(y\right)y^{\prime }=g\left(x\right)$ eli

missä $f$ ja $g$ ovat tarkastelualueessa määriteltyjä integroituvia funktioita.

Integroimalla puolittain muuttujan $x$ suhteen saadaan

missä $C$ on integroimisvakio. Sijoittamalla vasemman puolen integraalissa $y=y\left(x\right)$, jolloin $dy=y^{\prime }\left(x\right)dx$, saadaan

Tähän muotoon päästään muistisäännönomaisesti suoraankin käyttämällä derivaatalle Leibnizin merkintää $y^{\prime }=\frac{dy}{dx}$, jolloin yhtälö saa muodon

Laskemalla Leibnizin symbolilla kuin millä tahansa osamäärällä saadaan separoitu muoto $f\left(y\right)dy=g\left(x\right)dx$, missä muuttujat on eroteltu eri puolille yhtäläisyysmerkkiä. Tämä integroidaan puolittain.

Mikäli funktioiden $f$ ja $g$ integraalifunktiot $F$ ja $G$ ovat löydettävissä, päädytään muotoon

Tämä on differentiaaliyhtälön ratkaisu implisiittisessä muodossa, ts. muodossa, joka ei suoraan anna funktiota $y\left(x\right)$. Ratkaisemalla saatu yhtälö $y$:n suhteen — jos mahdollista — löydetään myös funktion $y$ lauseke.

Menettelyn periaatteellisena edellytyksenä on, että ratkaisu $y\left(x\right)$ on tarkastelualueessa olemassa. Muutoin ei integroimismuuttujan vaihtoa $y=y\left(x\right)$ voida vasemman puolen integraalissa tehdä. Käytännössä tähän ei yleensä kiinnitetä huomiota: ratkaisun olemassaolo voidaan jälkikäteen tarkistaa sijoittamalla funktio $y$ suoraan alkuperäiseen yhtälöön.

Linkkejä

separoituva yhtälö, esimerkki

Simo K. Kivelä 10.4.2001