XML

Separoituvaan palautuvat ensimmäisen kertaluvun yhtälöt

Vaikka ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö ei olisikaan separoituva, se on toisinaan mahdollista palauttaa separoituvaksi sopivalla sijoituksella.

1) Esimerkiksi jos yhtälö on muotoa

y^{'} = f (\frac{y}{x}),

ts. oikea puoli riippuu vain osamäärästä $y ∕ x$ , mutta ei muulla tavoin muuttujista $x$ ja $y$ , voidaan ottaa käyttöön uusi tuntematon funktio $u (x) = y (x) ∕ x$ eli $y (x) = x u (x)$ , jolloin $y^{'} = u + x u^{'}$ . Kun tämä sijoitetaan yhtälöön, se saa muodon

x u^{'} = f (u) - u eli \frac{1}{f (u) - u} u^{'} = \frac{1}{x} .

Tämä on separoituva.

2) Toinen yksinkertainen esimerkki on muotoa

y^{'} = f (a x + b y + c)

oleva yhtälö, missä $b \neq 0$ . Valitsemalla uudeksi tuntemattomaksi funktioksi $u (x) = a x + b y (x) + c$ saadaan $y = (u - a x - c) ∕ b$ ja $y^{'} = (u^{'} - a) ∕ b$ . Tällöin yhtälö saa muodon

u^{'} = a + b f (u),

mikä on separoituva.

Linkkejä

yhtälön muuntaminen separoituvaksi sijoituksella $u = y ∕ x$ , esimerkki
yhtälön muuntaminen sijoittamalla sopiva funktio, esimerkki
sijoitusten tekeminen

Simo K. Kivelä 10.4.2001