Erilaiset yhtälötyypit

Differentiaaliyhtälön ratkaiseminen perinteisillä käsinlaskumenetelmillä algebrallisesti, so. integrointi- ja derivointikaavoja hyödyntämällä, perustuu yhtälön tyypin tunnistamiseen ja tälle tyypille ominaisten menettelyjen käyttämiseen.

• Ensimmäisen kertaluvun yhtälö on separoituva, jos se voidaan kirjoittaa muotoon $f\left(y\right)y^{\prime }=g\left(x\right)$, missä $f$ ja $g$ ovat yhden muuttujan funktioita.
• Useat ensimmäisen kertaluvun yhtälöt voidaan sopivilla sijoituksilla palauttaa separoituviksi.
• Toisen ja korkeamman kertaluvun yhtälöt voidaan kirjoittaa normaaliryhmän muotoon ja toisinaan tämän kautta palauttaa separoituviksi.
• Ensimmäisen kertaluvun yhtälö voi olla eksakti, jolloin se voidaan integroida muotoon $F\left(x,y\right)=C$.
• Vaikka ensimmäisen kertaluvun yhtälö ei olisikaan eksakti, siitä mahdollisesti voidaan saada eksakti kertomalla se sopivalla integroivalla tekijällä.
• Ensimmäisen kertaluvun lineaarinen yhtälö on muotoa
  $$P_1\left(x\right)y^{\prime }+P_0\left(x\right)y=R\left(x\right),$$

  toisen kertaluvun muotoa

  $$P_2\left(x\right)y^{\prime \prime }+P_1\left(x\right)y^{\prime }+P_0\left(x\right)y=R\left(x\right),$$

  kolmannen kertaluvun muotoa

  $$P_3\left(x\right)y^{\prime \prime \prime }+P_2\left(x\right)y^{\prime \prime }+P_1\left(x\right)y^{\prime }+P_0\left(x\right)y=R\left(x\right)$$

  jne. Jos $R\left(x\right)=0$ kaikilla $x$, yhtälö on homogeeninen; jos näin ei ole, se on epähomogeeninen.

• Jos lineaariyhtälössä kerroinfunktiot $P_k\left(x\right)$ ovat vakioita, yhtälö on vakiokertoiminen.
• Jos homogeenisen lineaariyhtälön kerroinfunktiot ovat muotoa $P_k\left(x\right)=a_k{x}^k$ (missä $a_k$ on vakio), kyseessä on Eulerin yhtälö.
• Lineaarinen differentiaaliyhtälöryhmä muodostuu useasta lineaarisesta yhtälöstä. Yhtälöitä ja tuntemattomia funktioita on yhtä paljon.

Suuri osa — enemmistö — differentiaaliyhtälöistä on kuitenkin sellaisia, että niiden ratkaiseminen algebrallisesti tavallisten alkeisfunktioiden avulla ei ole mahdollista. Tällöin turvaudutaan esimerkiksi sarjaratkaisuihin tai numeerisiin ratkaisuihin.

Ratkaisut voidaan usein lausua myös ns. erikoisfunktioiden avulla. Näiden määrittelyssä käytetään erilaisia tapoja ja määrittelyn pohjalta johdetaan funktioille laskuominaisuuksia. Voidaan ajatella, että kyseessä on alkeisfunktiokokoelman laajentaminen.

Linkkejä

separoituva yhtälö
separoituvaan palautuvat ensimmäisen kertaluvun yhtälöt
ensimmäiseen kertalukuun palautuvat korkeampien kertalukujen yhtälöt
eksakti differentiaaliyhtälö
integroivan tekijän menettely
ensimmäisen kertaluvun lineaarinen ja homogeeninen yhtälö
ensimmäisen kertaluvun lineaarinen ja epähomogeeninen yhtälö
toisen kertaluvun lineaarinen ja homogeeninen yhtälö
toisen kertaluvun lineaarinen ja epähomogeeninen yhtälö
korkeampien kertalukujen lineaariyhtälöt
vakiokertoiminen homogeeninen lineaariyhtälö
vakiokertoiminen epähomogeeninen lineaariyhtälö
Eulerin yhtälö
sarjaratkaisu
differentiaaliyhtälöryhmä
numeerinen ratkaiseminen

Simo K. Kivelä 10.4.2001