XML

Vakiokertoiminen epähomogeeninen yhtälö

Kertalukua $n$ oleva lineaarinen vakiokertoiminen epähomogeeninen differentiaaliyhtälö on

y^{(n)} + a_{n - 1} y^{(n - 1)} + \dots + a_{1} y^{'} + a_{0} y = R (x),

missä kertoimet $a_{k}$ ovat vakioita. Oikeanpuolen funktio $R (x)$ voi olla millainen tahansa.

Yleisen teorian mukaan epähomogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu saadaan summana vastaavan homogeeniyhtälön yleisestä ratkaisusta ja epähomogeeniyhtälön jostakin yksittäisratkaisusta. Viimeksi mainittu voidaan hakea esimerkiksi vakioiden varioinnilla.

Jos kuitenkin kyseessä on vakiokertoiminen yhtälö ja funktio $R (x)$ on sopivaa tyyppiä, voidaan yksittäisratkaisu hakea helpommin yritettä käyttäen.

Millainen yrite on syytä valita vastaamaan tietyntyyppistä funktiota $R (x)$ , ilmenee seuraavasta taulukosta. Symbolit $A$ , $B$ , $A_{k}$ ovat yritteen parametreja, jotka on määrättävä siten, että yrite toteuttaa yhtälön; $α$ , $β$ , $ω$ ja $n$ ovat funktion $R (x)$ lausekkeessa olevia vakioita.

R (x)

yrite

α e^{β x}

A e^{β x}

A x e^{β x}

jos

e^{β x}

on homogeeniyhtälön ratkaisu

A x^{2} e^{β x}

jos myös

x e^{β x}

on homogeeniyhtälön ratkaisu

etc.

\begin{matrix} α & sin ω x \\ β & cos ω x \\ α & sin ω x + β cos ω x \end{matrix}\}

A sin ω x + B cos ω x

A x sin ω x + B x cos ω x

jos

sin ω x

cos ω x

ovat homog.yht. ratkaisuja

etc.

polynomi astetta

n

polynomi astetta

n

ts.

\sum_{k = 0}^{n} A_{k} x^{k}

polynomi astetta

n + 1

jos homog.yht. ratkaisuna on vakio

polynomi astetta

n + 2

jos homog.yht. ratkaisuna on 1. asteen polynomi

etc.

Kutakin funktion $R (x)$ muotoa vastaten on ensimmäisellä rivillä normaalisti sovellettava yritteen muoto. Jos kuitenkin tämänmuotoinen lauseke sattuu olemaan homogeeniyhtälön ratkaisu, ei se voi toteuttaa epähomogeeniyhtälöä millään parametrien valinnalla. Polynomin tapauksessa näin käy, jos karakteristisella yhtälöllä on juurena $r = 0$ , eksponenttifunktion tapauksessa, jos juurena on $r = β$ , ja sini-kosini-tapauksessa, jos juurina ovat $r = \pm ω i$ . Näissä tapauksissa on yritteeseen lisättävä kertoimeksi $x$ . Jos juuret ovat kaksinkertaisia, otetaan kertoimeksi $x^{2}$ jne.

Taulukkoa voisi jatkaakin, mutta esitetyt tapaukset ovat tärkeimmät. Ne tulevat esiin erilaisissa sovelluksissa, mm. värähtelyprobleemoissa.

Että em. yritteet toimivat, ei ole itsestään selvää. Suorilla laskuilla voidaan kuitenkin osoittaa, että näin on.

Linkkejä

epähomogeeninen vakiokertoiminen yhtälö, esimerkki
epähomogeenisen yhtälön ratkaisujoukko
vakiokertoiminen homogeeniyhtälö
ensimmäisen kertaluvun epähomogeeninen yhtälö yleensä
toisen kertaluvun epähomogeeninen yhtälö yleensä
vaihtovirtapiirin pakotettu värähtely (mma-versio)
vaihtovirtapiirin resonanssi (mma-versio)
monisilmukkainen vaihtovirtapiiri (mma-versio)
vaihtovirtapiirin pakotettu värähtely (mpl-versio)
vaihtovirtapiirin resonanssi (mpl-versio)
monisilmukkainen vaihtovirtapiiri (mpl-versio)

Simo K. Kivelä 10.4.2001