XML

Vakiokertoiminen homogeeniyhtälö

Kertalukua $n$ oleva lineaarinen vakiokertoiminen homogeeninen differentiaaliyhtälö on

y^{(n)} + a_{n - 1} y^{(n - 1)} + \dots + a_{1} y^{'} + a_{0} y = 0,

missä kertoimet $a_{k}$ ovat vakioita. Yleisen lineaariyhtälöiden teorian mukaan tämän ratkaisu on muotoa

y = C_{1} y_{1} (x) + C_{2} y_{2} (x) + \dots + C_{n} y_{n} (x),

missä funktiot $y_{k}$ ovat lineaarisesti riippumattomia.

Yhtälö voidaan ratkaista yritteellä $y = e^{r x}$ , missä luku $r$ määrätään siten, että yrite toteuttaa yhtälön. Yritteen derivaatat ovat yksinkertaisia: $y^{(k)} = r^{k} e^{r x}$ . Kun nämä sijoitetaan differentiaaliyhtälöön, saadaan

(r^{n} + a_{n - 1} r^{n - 1} + \dots + a_{1} r + a_{0}) e^{r x} = 0 .

Tekijä $e^{r x}$ voidaan jakaa pois, ja päädytään polynomiyhtälöön, ns. karakteristiseen yhtälöön

r^{n} + a_{n - 1} r^{n - 1} + \dots + a_{1} r + a_{0} = 0 .

Jos tämän juuret $r_{1}, r_{2}, \dots, r_{n}$ ovat kaikki reaalisia ja eri suuria, on löydetty lineaarisesti riippumattomat perusratkaisut:

y_{1} (x) = e^{r_{1} x}, y_{2} (x) = e^{r_{2} x}, \dots, y_{n} (x) = e^{r_{n} x} .

Jos joukossa on yhtä suuria juuria, ei perusratkaisuihin voida ottaa kahteen kertaan samaa funktiota, koska tällöin systeemistä tulisi lineaarisesti riippuva. Voidaan osoittaa, että kahden yhtä suuren juuren ( $r_{1} = r_{2} = r$ ) tapauksessa vastaaviksi lineaarisesti riippumattomiksi perusratkaisuiksi kelpaavat $y_{1} (x) = e^{r x}$ ja $y_{2} (x) = x e^{r x}$ . Jos yhtä suuria juuria on enemmän, vastaaviin lineaarisesti riippumattomiin ratkaisuihin tulee korkeampia muuttujan $x$ potensseja: $y_{3} (x) = x^{2} e^{r x}$ jne.

Jos juurten joukossa on kompleksilukuja, nämä esiintyvät liittolukupareina: $r_{1} = α + i β$ , $r_{2} = α - i β$ . Vastaavat perusratkaisut voitaisiin kirjoittaa kompleksisen eksponenttifunktion avulla muodossa

y_{1} (x) = e^{(α + i β) x}, y_{2} (x) = e^{(α - i β) x},

mutta koska differentiaaliyhtälö on reaalinen, on luontevampaa käyttää reaalisia perusratkaisuja. Eulerin kaavan $e^{i t} = cos t + i sin t$ avulla voidaan kompleksisten eksponenttifunktioiden avulla lausutut ratkaisut muuntaa reaaliseen muotoon, jossa lineaarisesti riippumattomina funktioina ovat

y_{1} (x) = e^{α x} sin (β x), y_{2} (x) = e^{α x} cos (β x) .

Linkkejä

homogeeninen vakiokertoiminen yhtälö, esimerkki
yhtä suurten juurten tapauksen perustelu (mma-versio)
kompleksisten juurten tapauksen perustelu (mma-versio)
yhtä suurten juurten tapauksen perustelu (mpl-versio)
kompleksisten juurten tapauksen perustelu (mpl-versio)
homogeeniyhtälön ratkaisujoukko
värähtelevä jousi (mma-versio)
värähtelevä jousisysteemi (mma-versio)
vaihtovirtapiirin vapaa värähtely (mma-versio)
värähtelevä jousi (mpl-versio)
värähtelevä jousisysteemi (mpl-versio)
vaihtovirtapiirin vapaa värähtely (mpl-versio)

Simo K. Kivelä 10.4.2001