XML

Eksakti differentiaaliyhtälö

Differentiaaliyhtälön $(3 x^{2} + 6 x y^{2}) + (6 x^{2} y + 4 y^{3}) y^{'} = 0$ kerroinfunktioille $P (x, y) = 3 x^{2} + 6 x y^{2}$ ja $Q (x, y) = 6 x^{2} y + 4 y^{3}$ pätee

\frac{\partial P}{\partial y} = 12 x y = \frac{\partial Q}{\partial x},

ja yhtälö on siis eksakti.

Tällöin sillä on muotoa $F (x, y) = C$ oleva ratkaisu, missä

\frac{\partial F}{\partial x} = P (x, y) = 3 x^{2} + 6 x y^{2} ja \frac{\partial F}{\partial y} = Q (x, y) = 6 x^{2} y + 4 y^{3} .

Eksakti yhtälö ratkaistaan integroimalla aluksi jompikumpi näistä yhtälöistä. Jos edellinen integroidaan muuttujan $x$ suhteen, saadaan

F (x, y) = x^{3} + 3 x^{2} y^{2} + f (y) .

Tässä oleva integroimisvakio $f (y)$ voi riippua muuttujasta $y$ .

Funktio $f (y)$ saadaan määritetyksi jälkimmäisen ehdon perusteella:

\frac{\partial F}{\partial y} = Q (x, y) eli 6 x^{2} y + f^{'} (y) = 6 x^{2} y + 4 y^{3},

jolloin $f^{'} (y) = 4 y^{3}$ ja siis $f (y) = y^{4}$ .

Differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on tällöin

x^{3} + 3 x^{2} y^{2} + y^{4} = C .

Funktion $f$ lausekkeessa voisi periaatteessa esiintyä myös integroimisvakio, mutta tämä on merkityksetön, koska sen voidaan katsoa sisältyvän yleisen ratkaisun vakioon $C$ .

Linkkejä

differentiaaliyhtälön eksaktius

Simo K. Kivelä 26.04.2001