XML

Integroiva tekijä

1) Differentiaaliyhtälön $y + (x^{2} y - x) y^{'} = 0$ kerroinfunktiot ovat $P (x, y) = y$ ja $Q (x, y) = x^{2} y - x$ . Koska osittaisderivaatat

\frac{\partial P}{\partial y} = 1 ja \frac{\partial Q}{\partial x} = 2 x y - 1

ovat eri suuret, yhtälö ei ole eksakti.

Jos yhtälö kerrotaan tekijällä $1 ∕ x^{2}$ , se saa muodon

\frac{y}{x^{2}} + (y - \frac{1}{x}) y^{'} = 0 .

Tällöin

\frac{\partial}{\partial y} \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} = \frac{\partial}{\partial x} (y - \frac{1}{x}),

ja yhtälö siis on eksakti. Kerroin $1 ∕ x^{2}$ on yhtälön integroiva tekijä.

Yhtälö voidaan tällöin ratkaista eksaktiuteen perustuen. Tulos on

- \frac{y}{x} + \frac{y^{2}}{2} = C eli x y^{2} - 2 y = 2 C x .

2) Joissakin erikoistapauksissa voidaan sopiva integroiva tekijä etsiä laskemalla. Esimerkkinä olkoon yhtälö $(2 x y - y^{2} - y) + (2 x y - x^{2} - x) y^{'} = 0$ , jolle yritetään etsiä muotoa $M (x + y)$ oleva integroiva tekijä. Tässä $M$ on siis yhden muuttujan funktio, jonka argumenttina on summa $x + y$ .

Kun yhtälö kerrotaan integroivalla tekijällä saadaan kerroinfunktioiksi

P (x, y) = M (x + y) (2 x y - y^{2} - y), Q (x, y) = M (x + y) (2 x y - x^{2} - x) .

Eksaktiusehto $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$ antaa tällöin

\begin{array}{l} M^{'} (x + y) (2 x y - y^{2} - y) & + M (x + y) (2 x - 2 y - 1) \\ = M^{'} (x + y) (2 x y - x^{2} - x) + M (x + y) (2 y - 2 x - 1), \end{array}

mikä sievenee muotoon

M^{'} (x + y) (x + y + 1) = - 4 M (x + y) eli M^{'} (t) (t + 1) = - 4 M (t);

tässä on merkitty $t = x + y$ . Saatu yhtälö on separoituva, ja sen eräs ratkaisu on $M (t) = 1 ∕ {(t + 1)}^{4}$ , jolloin integroivaksi tekijäksi saadaan

M (x + y) = \frac{1}{{(x + y + 1)}^{4}} .

Tällöin yhtälöstä tulee eksakti ja se voidaan ratkaista. Tulos voidaan kirjoittaa muotoon

x y = C {(x + y + 1)}^{3} .

Linkkejä

integroivan tekijän menettely
differentiaaliyhtälön eksaktius
eksaktin yhtälön ratkaiseminen, esimerkki

Simo K. Kivelä 26.04.2001