Ensimmäisen kertaluvun lineaarinen yhtälö

Lineaarisen epähomogeenisen differentiaaliyhtälön

yleisen ratkaisun etsimiseksi on käsin laskettaessa ensin ratkaistava vastaava homogeeniyhtälö

Tämä on separoituva: $dy∕y=2dx∕x$. Homogeeniyhtälön yleinen ratkaisu on siten

Epähomogeenisen yhtälön yleiseen ratkaisuun tarvitaan lisäksi jokin epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisu. Tämä voidaan etsiä joko arvaamalla sen muoto ja sijoittamalla sopiva yrite yhtälöön tai yleispätevällä vakion variointi -menettelyllä.

Yhtälön muodon perusteella tuntuisi järkevältä valita yritteeksi $y=A{x}^{2}sin3x+B{x}^{2}cos3x$ ja pyrkiä määrittämään vakiot $A$ ja $B$ sopivasti. Tämän derivointi nimittäin tuottaa paitsi samanmuotoisia termejä myös muotoja $xsin3x$ ja $xcos3x$ olevia termejä, joita toisaalta syntyy myös kerrottaessa yrite $y$ funktiolla $2∕x$.

Yritteen sijoittaminen yhtälöön antaa

eli

Jotta yhtälö olisi voimassa kaikilla arvoilla $x$, on ilmeisestikin oltava $A=\frac{1}{3}$ ja $B=0$. Yksittäisratkaisu on siis $y=\frac{1}{3}{x}^{2}sin3x$, jolloin epähomogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu on

Epähomogeeniyhtälön yksittäisratkaisu voidaan myös hakea vakion varioinnilla, jolloin käytetään yritettä $y=u\left(x\right)x^2$ ja pyritään määrittämään sopiva funktio $u\left(x\right)$. Tekijä $x^2$ on peräisin homogeeniyhtälön yleisestä ratkaisusta. Yritteen sijoittaminen yhtälöön antaa

Tästä supistuu funktio $u$ pois (näin käy aina) ja jäljelle jää vain derivaatan $u^{\prime }$ sisältävä yhtälö $u^{\prime }=cos3x$. Tällä on ratkaisuna muiden ohella $u=\frac{1}{3}sin3x$, jolloin yksittäisratkaisuksi saadaan $y=u\left(x\right)x^2=\frac{1}{3}{x}^{2}sin3x$ kuten edelläkin.

Linkkejä

ensimmäisen kertaluvun homogeeninen yhtälö
ensimmäisen kertaluvun epähomogeeninen yhtälö
separoituva yhtälö

Simo K. Kivelä 26.04.2001