XML

Toisen kertaluvun lineaarinen epähomogeeninen yhtälö: yksittäisratkaisu vakioiden varioinnilla

Toisen kertaluvun lineaarista epähomogeenista yhtälöä

y^{''} + y = 2 x sin x

vastaava homogeeniyhtälö $y^{''} + y = 0$ on vakiokertoiminen, ja sen yleinen ratkaisu on $y = C_{1} sin x + C_{2} cos x$ .

Epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisun muoto on vaikeasti arvattavissa. Ainoaksi mahdollisuudeksi jää tällöin soveltaa yleistä vakioiden variointi -menettelyä, jolloin yritteeksi otetaan $y = u (x) sin x + v (x) cos x$ ja pyritään määrittämään funktiot $u$ ja $v$ siten, että tämä toteuttaa yhtälön.

Yritteen derivaatta on $y^{'} = u cos x - v sin x + u^{'} sin x + v^{'} cos x$ , mutta tätä yksinkertaistetaan asettamalla lisäehto

u^{'} sin x + v^{'} cos x = 0,

jolloin $y^{'} = u cos x - v sin x$ . Toinen derivaatta on tällöin $y^{''} = - u sin x - v cos x + u^{'} cos x - v^{'} sin x$ . Derivaattojen sijoittaminen differentiaaliyhtälöön johtaa itse funktioiden $u$ ja $v$ supistumiseen pois (näin käy menettelyssä aina), ja jäljelle jää vain derivaattoja koskeva yhtälö

u^{'} cos x - v^{'} sin x = 2 x sin x .

Derivaatoille $u^{'}$ ja $v^{'}$ on tällöin saatu lineaarinen yhtälöryhmä

\{\begin{matrix} u^{'} cos x - v^{'} sin x & = 2 x sin x, \\ u^{'} sin x + v^{'} cos x & = 0, \end{matrix}

josta ratkaisemalla saadaan

u^{'} = 2 x sin x cos x = x sin 2 x, v^{'} = - 2 x {sin}^{2} x = x (cos 2 x - 1) .

Näiden integrointi antaa

u (x) = \frac{1}{4} sin 2 x - \frac{1}{2} x cos 2 x + vakio, v (x) = \frac{1}{4} cos 2 x + \frac{1}{2} x sin 2 x - \frac{1}{2} x^{2} + vakio .

Etsitty yksittäisratkaisu on tällöin $y = u (x) sin x + v (x) cos x$ . Asettamalla vakiot $= 0$ ja sieventämällä trigonometrisesti tämä voidaan saada muotoon

y = u (x) sin x + v (x) cos x = \frac{1}{4} cos x + \frac{1}{2} x sin x - \frac{1}{2} x^{2} cos x .

Epähomogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu saadaan laskemalla yhteen homogeeniyhtälön yleinen ratkaisu ja saatu yksittäisratkaisu. Koska vakiot $C_{1}$ ja $C_{2}$ ovat mielivaltaisia, voidaan yksittäisratkaisun termi $\frac{1}{4} cos x$ ajatella yhdistettäväksi termiin $C_{2} cos x$ , jolloin yleiseksi ratkaisuksi saadaan

y = C_{1} sin x + C_{2} cos x + \frac{1}{2} (x sin x - x^{2} cos x) .

Linkkejä

toisen kertaluvun epähomogeeninen yhtälö
vakiokertoiminen homogeeniyhtälö

Simo K. Kivelä 26.04.2001