XML

Toisen kertaluvun lineaarinen epähomogeeninen yhtälö: yksittäisratkaisu sopivalla yritteellä

Toisen kertaluvun lineaarista epähomogeenista alkuarvoprobleemaa

(x + 1) y^{''} - x y^{'} - y = {(x + 1)}^{2}, y (0) = y^{'} (0) = 0

vastaavan homogeeniyhtälön yleinen ratkaisu on

y = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{x} \int_{0}^{x} \frac{e^{- t}}{t + 1} d t .

Epähomogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu saadaan lisäämällä tähän jokin epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisu.

Yhtälön muodon perusteella saattaisi olla mahdollista löytää yksittäisratkaisuksi toisen asteen polynomi. Sopiva yrite olisi siten $y = a x^{2} + b x + c$ , missä kertoimet $a$ , $b$ ja $c$ määritetään siten, että yhtälö toteutuu.

Sijoittamalla yrite yhtälöön saadaan

2 a (x + 1) - x (2 a x + b) - (a x^{2} + b x + c) = {(x + 1)}^{2} .

Tämä sievenee muotoon

- 3 a x^{2} + 2 (a - b) x + (2 a - c) = x^{2} + 2 x + 1 .

Jotta oikean ja vasemman puolen polynomit olisivat samat, tulee kertoimien olla samat: $- 3 a = 1$ , $a - b = 1$ , $2 a - c = 1$ . Tästä seuraa $a = - \frac{1}{3}$ , $b = - \frac{4}{3}$ , $c = - \frac{5}{3}$ , jolloin yksittäisratkaisu on

y = - \frac{1}{3} (x^{2} + 4 x + 5) .

Differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on siis

y = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{x} \int_{0}^{x} \frac{e^{- t}}{t + 1} d t - \frac{1}{3} (x^{2} + 4 x + 5) .

Alkuarvoprobleeman ratkaisu saadaan vaatimalla, että yleinen ratkaisu toteuttaa alkuehdot. Ehdosta $y (0) = 0$ seuraa $C_{1} - \frac{5}{3} = 0$ . Koska

y^{'} = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{x} \int_{0}^{x} \frac{e^{- t}}{t + 1} d t + \frac{C_{2}}{x + 1} - \frac{1}{3} (2 x + 4),

seuraa ehdosta $y^{'} (0) = 0$ yhtälö $C_{1} + C_{2} - \frac{4}{3} = 0$ . On siis oltava $C_{1} = \frac{5}{3}$ ja $C_{2} = - \frac{1}{3}$ . Alkuarvoprobleeman ratkaisu on siten

y = \frac{1}{3} (5 e^{x} - e^{x} \int_{0}^{x} \frac{e^{- t}}{t + 1} d t - x^{2} - 4 x - 5) alueessa x > - 1 .

Linkkejä

toisen kertaluvun epähomogeeninen yhtälö
vastaavan homogeeniyhtälön ratkaiseminen
alkuehto

Simo K. Kivelä 26.04.2001