XML

Toisen kertaluvun lineaarinen homogeeninen yhtälö: toinen perusratkaisu yleisellä menettelyllä

Toisen kertaluvun lineaarisessa ja homogeenisessa differentiaaliyhtälössä

(x + 1) y^{''} - x y^{'} - y = 0

on kerroinfunktioiden $x + 1$ , $- x$ ja $- 1$ summa $= 0$ , jolloin sillä on ratkaisuna ainakin $y = e^{x}$ .

Yleiseen ratkaisuun tarvitaan kuitenkin kaksi lineaarisesti riippumatonta yksittäisratkaisua. Kun toinen tiedetään, toinen voidaan aina etsiä yritteellä, jossa tunnettu ratkaisu kerrotaan tuntemattomalla funktiolla; tässä tapauksessa $y = u (x) e^{x}$ .

Sijoittamalla yrite yhtälöön saadaan

(x + 1) (u^{''} + 2 u^{'} + u) e^{x} - x (u^{'} + u) e^{x} - u e^{x} = 0,

mikä sievenee muotoon

(x + 1) (u^{''} + 2 u^{'}) - x u^{'} = 0 .

Jäljelle jää siis vain funktion $u$ derivaattoja, funktio itse supistuu pois. Menettelyssä käy aina tällä tavoin.

Saatua yhtälöä vastaava normaaliryhmä on

\{\begin{matrix} \frac{d u}{d x} & = v, \\ \frac{d v}{d x} & = - \frac{x + 2}{x + 1} v . \end{matrix}

Jälkimmäinen yhtälö on separoituva ja antaa

v = \frac{e^{- x}}{x + 1},

jolloin $u$ saadaan yhdellä lisäintegroinnilla:

u = \int_{0}^{x} \frac{e^{- t}}{t + 1} d t .

Integraali ei ole lausuttavissa alkeisfunktioiden avulla, mutta kyllä esimerkiksi symbolisten laskentaohjelmien tuntemien funktioiden avulla.

Toinen lineaarisesti riippumaton perusratkaisu on tällöin

y = e^{x} \int_{0}^{x} \frac{e^{- t}}{t + 1} d t

ja homogeeniyhtälön yleinen ratkaisu

y = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{x} \int_{0}^{x} \frac{e^{- t}}{t + 1} d t .

Koska integroitavalla funktiolla on nimittäjän nollakohta $t = - 1$ , on edellä esitetty ratkaisu pätevä vain alueessa $x > - 1$ , jolloin ei jouduta integroimaan nollakohdan yli. Differentiaaliyhtälön ratkaisua voidaan tarkastella myös alueessa $x < - 1$ , mutta tällöin on integraalin alaraja otettava tästä alueesta. (Alaraja sinänsä on mielivaltainen, koska etsitään vain jotakin sopivaa funktiota $u$ .) Ratkaisuista vain $C_{1} e^{x}$ jatkuu kohdan $x = - 1$ yli; kaikkien muiden osalta tarkastelualue jakautuu tässä pisteessä kahtia. Tämä näkyy myös siten, että normaalimuodossa olevan yhtälön kerroinfunktioille $x = - 1$ on nimittäjän nollakohta.

Linkkejä

toisen kertaluvun homogeeninen yhtälö
ensimmäiseen kertalukuun palautuva toisen kertaluvun yhtälö (kohta 1)
funktioiden lineaarinen riippumattomuus

Simo K. Kivelä 26.04.2001