XML

Kertalukua $n$ oleva lineaarinen ja epähomogeeninen differentiaaliyhtälö on normaalimuodossa

y^{(n)} + P_{n - 1} (x) y^{(n - 1)} + \dots + P_{1} (x) y^{'} + P_{0} (x) y = R (x) .

Tämän yleinen ratkaisu voidaan suoraan kirjoittaa, jos tunnetaan vastaavan homogeeniyhtälön yleinen ratkaisu, joka on muotoa

y_{C} = C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2} + \dots + C_{n} y_{n},

ja jokin — mikä tahansa — epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisu $y_{0}$ . Epähomogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu on nimittäin näiden summa:

y (x) = y_{C} (x) + y_{0} (x) = C_{1} y_{1} (x) + C_{2} y_{2} (x) + \dots + C_{n} y_{n} (x) + y_{0} (x) .

Todistus on hyvin lyhyt, kun differentiaaliyhtälö kirjoitetaan operaattorimerkintää käyttäen: $L y = R$ .

Koska $L y_{C} = 0$ ja $L y_{0} = R$ , on edellä esitetty $y = y_{C} + y_{0}$ todellakin yhtälön ratkaisu:

L y = L (y_{C} + y_{0}) = L y_{C} + L y_{0} = 0 + R = R .

Jos toisaalta $y_{1}$ on jokin epähomogeenisen yhtälön ratkaisu, ts. $L y_{1} = R$ , on $y_{1} - y_{0}$ homogeeniyhtälön ratkaisu:

L (y_{1} - y_{0}) = L y_{1} - L y_{0} = R - R = 0 .

Tällöin on $y_{1} - y_{0} = y_{C}$ , kun vakiot $C_{k}$ ratkaisussa $y_{C}$ valitaan sopivasti. Siis $y_{1}$ on muotoa $y_{C} + y_{0}$ .

Linkkejä