XML

Eulerin yhtälö

1) Toisen kertaluvun lineaarinen ja homogeeninen differentiaaliyhtälö $x^{2} y^{''} - 3 x y^{'} + y = 0$ on esimerkki Eulerin yhtälöstä. Se on helpointa ratkaista yritteellä $y = x^{r}$ . Tämän sijoittaminen yhtälöön antaa

r (r - 1) x^{r} - 3 r x^{r} + x^{r} = 0 .

Jakamalla tekijä $x^{r}$ pois yhtälöstä päädytään ehtoon $r^{2} - 4 r + 1 = 0$ , mistä seuraa $r = 2 \pm \sqrt{3}$ . Yhtälön yleinen ratkaisu on siten

y = C_{1} x^{2 + \sqrt{3}} + C_{2} x^{2 - \sqrt{3}} .

Koska eksponentit eivät ole kokonaislukuja, on rajoituttava alueeseen $x > 0$ .

2) Jos kolmannen kertaluvun yhtälöön $x^{3} y^{'''} - 5 x^{2} y^{''} + 14 x y^{'} - 18 y = 0$ sijoitetaan yrite $y = x^{r}$ , päädytään yhtälöön $r^{3} - 8 r^{2} + 21 r - 18 = 0$ . Tämän juuret ovat $r_{1} = 2$ , $r_{2} = r_{3} = 3$ .

Tämä vastaa tilannetta, missä sijoituksella $x = e^{t}$ vakiokertoimiseksi muunnetulla yhtälöllä on yleinen ratkaisu $u = C_{1} e^{2 t} + C_{2} e^{3 t} + C_{3} t e^{3 t}$ . Sijoittamalla tähän $t = ln x$ voidaan palata alkuperäiseen muuttujaan, ja yleiseksi ratkaisuksi saadaan

y = C_{1} x^{2} + C_{2} x^{3} + C_{3} x^{3} ln x .

Edellytyksenä on, että $x > 0$ .

Lukija todetkoon, että jos $x < 0$ , niin yhtälön yleinen ratkaisu on

y = C_{1} x^{2} + C_{2} x^{3} + C_{3} x^{3} ln (- x) .

3) Jos yhtälöön $x^{2} y^{''} - 3 x y^{'} + 13 y = 0$ sijoitetaan yrite $y = x^{r}$ , saadaan toisen asteen yhtälö $r^{2} - 4 r + 13 = 0$ , jonka juuret ovat kompleksiset: $r_{1} = 2 + 3 i$ , $r_{2} = 2 - 3 i$ .

Vakiokertoimiseksi muunnetulla yhtälöllä on tällöin perusratkaisut $u_{1} = e^{2 t} cos (3 t)$ ja $u_{2} = e^{2 t} sin (3 t)$ . Sijoittamalla näihin $t = ln x$ saadaan perusratkaisuiksi $y_{1} = x^{2} cos (3 ln x)$ ja $y_{2} = x^{2} sin (3 ln x)$ , jolloin yleinen ratkaisu on

y = C_{1} x^{2} cos (3 ln x) + C_{2} x^{2} sin (3 ln x), x > 0 .

Jos $x < 0$ , on yleinen ratkaisu vastaavasti

y = C_{1} x^{2} cos (3 ln (- x)) + C_{2} x^{2} sin (3 ln (- x)) .

Linkkejä

Eulerin yhtälö

Simo K. Kivelä 26.04.2001