Homogeenisen kolmannen kertaluvun lineaariyhtälön yleinen ratkaisu

Kolmannen kertaluvun lineaarisella ja homogeenisella differentiaaliyhtälöllä

on ilmeisestikin ratkaisuna vakiofunktio, esimerkiksi $y_1\left(x\right)=1$. Koska kerroinfunktioiden $x-1$, $-x$ ja $1$ summa on $=0$, on ratkaisuna myös eksponenttifunktio $y_2\left(x\right)=e^x$. Melko helposti on havaittavissa, että lisäksi funktio $y_3\left(x\right)=x^2$ toteuttaa yhtälön.

Lineaarista ja homogeenista yhtälöä koskeva teoria sanoo tällöin, että yhtälön yleinen ratkaisu saadaan näistä:

Edellytyksenä on, että funktiot $1$, $e^x$ ja $x^2$ ovat lineaarisesti riippumattomia. Näin kuitenkin on, mikä nähdään esimerkiksi sijoittamalla testiyhtälöön ${\lambda }_1+{\lambda }_2{e}^x+{\lambda }_3{x}^2=0$ arvot $x=0$, $x=1$, $x=-1$ ja ratkaisemalla saatu lineaarinen yhtälöryhmä

Saatu yleinen ratkaisu on kaikkialla säännöllinen. Differentiaaliyhtälö ei kuitenkaan täytä alkuarvoprobleeman ratkaisun olemassaoloa koskevan lauseen ehtoja. Normaalimuodossa differentiaaliyhtälö nimittäin on

joten vaatimukset kerroinfunktioiden jatkuvuudesta eivät täyty välillä, joka sisältää pisteen $x=1$. Ratkaisujen kannalta ei tämä piste kuitenkaan näytä poikkeukselliselta ainakaan ensi näkemältä. Se on kuitenkin piste, jossa yhtälön ratkaisu ei toteuta mitä tahansa alkuehtoa. Yleisen ratkaisun derivaatat nimittäin ovat

ja pisteessä $x=1$ nämä saavat saman arvon vakioista $C_2$ ja $C_3$ riippumatta. Ratkaisua ei siis löydy, jos alkuehdossa vaaditaan, että $y^{\prime }\left(1\right)$ ja $y^{\prime \prime }\left(1\right)$ saavat eri suuret arvot.

Linkkejä

homogeenisen yhtälö ratkaisujoukko
lineaarinen riippumattomuus
lineaariyhtälön ratkaisun olemassaolo
alkuehto

Simo K. Kivelä 26.04.2001