Lineaarisesti riippumattomat ja lineaarisesti riippuvat funktiot

1) Olkoon tutkittavana funktioiden $y_1\left(x\right)=sinx$, $y_2\left(x\right)=cosx$ ja $y_3\left(x\right)=cos2x$ lineaarinen riippuvuus tai riippumattomuus tarkasteluvälinä koko reaaliakseli.

Testiyhtälö on

Koska tämä on voimassa kaikilla arvoilla $x$, se on erityisesti voimassa, jos $x=0$, $x=\pi ∕2$ tai $x=\pi$. Näillä arvoilla saadaan yhtälöryhmä

Laskemalla ensimmäinen ja kolmas yhtälö yhteen päädytään tulokseen ${\lambda }_3=0$, minkä jälkeen seuraa selvästikin myös ${\lambda }_1={\lambda }_2=0$.

Koska kaikki kertoimet ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$ ovat välttämättä $=0$, funktiot ovat lineaarisesti riippumattomat.

2) Olkoon tarkasteltavana funktiot $y_1\left(x\right)={sin}^{2}x$, $y_2\left(x\right)={cos}^{2}x$ ja $y_3\left(x\right)=cos2x$.

Testiyhtälö on nyt

Samalla tavalla kuin edellä saataisiin nyt yhtälöryhmä

Tällä on edellisestä poiketen ratkaisuna esimerkiksi ${\lambda }_1=-{\lambda }_2={\lambda }_3=1$. Tuloksesta ei kuitenkaan voida päätellä, että funktiot olisivat lineaarisesti riippuvia: voisihan olla, että valitsemalla joitakin muita arvoja kuin $0$, $\pi ∕2$ ja $\pi$ muuttujalle $x$ päädyttäisiin yhtälöryhmään, jolla nollasta eroavia ratkaisuja ei olisi. Koska kaikkia muuttujan $x$ arvoja ei tällä tavoin voida käydä lävitse, ei menettely johda tulokseen.

Funktiot kuitenkin ovat lineaarisesti riippuvia, sillä trigonometrian kaava

on voimassa kaikilla muuttujan $x$ arvoilla. Testiyhtälöllä on siten ratkaisuna ainakin ${\lambda }_1=1$, ${\lambda }_2=-1$, ${\lambda }_3=1$.

Linkkejä

lineaarinen riippumattomuus

Simo K. Kivelä 26.04.2001