XML

Epähomogeeninen vakiokertoiminen lineaariyhtälö

Epähomogeenista vakiokertoimista differentiaaliyhtälöä

y^{(4)} + 4 y^{'''} + 6 y^{''} + 4 y^{'} + y = e^{- x} + sin 5 x

vastaava homogeeniyhtälö on

y^{(4)} + 4 y^{'''} + 6 y^{''} + 4 y^{'} + y = 0 .

Kun tämä ratkaistaan yritteellä $y = e^{r x}$ päädytään karakteristiseen yhtälöön $r^{4} + 4 r^{3} + 6 r^{2} + 4 r + 1 = 0$ , jolla on nelinkertainen juuri $r = - 1$ . Homogeeniyhtälön yleinen ratkaisu on siten

y = C_{1} e^{- x} + C_{2} x e^{- x} + C_{3} x^{2} e^{- x} + C_{4} x^{3} e^{- x} .

Epähomogeeniyhtälön yksittäisratkaisua haettaessa voidaan termit $e^{- x}$ ja $sin 5 x$ käsitellä erikseen. Jos nimittäin $y_{1}$ on differentiaaliyhtälön $L y = R_{1}$ ratkaisu ja $y_{2}$ on differentiaaliyhtälön $L y = R_{2}$ ratkaisu, ts. $L y_{1} = R_{1}$ ja $L y_{2} = R_{2}$ , niin on myös $L y_{1} + L y_{2} = R_{1} + R_{2}$ eli $L (y_{1} + y_{2}) = R_{1} + R_{2}$ . Tällöin $y_{1} + y_{2}$ on yksittäisratkaisu sille yhtälölle, jonka oikeana puolena on summa $R_{1} + R_{2}$ .

Koska $e^{- x}$ , $x e^{- x}$ , $x^{2} e^{- x}$ ja $x^{3} e^{- x}$ ovat homogeeniyhtälön ratkaisuja, on yhtälön

y^{(4)} + 4 y^{'''} + 6 y^{''} + 4 y^{'} + y = e^{- x}

yksittäisratkaisua etsittävä yritteellä $y = A x^{4} e^{- x}$ . Tämän sijoittaminen differentiaaliyhtälöön antaa $(24 A - 1) e^{- x} = 0$ , jolloin tulee olla $A = 1 ∕ 24$ .

Yhtälön

y^{(4)} + 4 y^{'''} + 6 y^{''} + 4 y^{'} + y = sin 5 x

yksittäisratkaisu voidaan löytää yritteellä $y = A sin 5 x + B cos 5 x$ . Tämän sijoittaminen yhtälöön antaa $(476 a + 480 b) sin 5 x + (- 480 a + 476 b) cos 5 x = sin 5 x$ , jolloin tulee olla

\{\begin{matrix} 476 & a + 480 b = 1, \\ - 480 & a + 476 b = 0 . \end{matrix}

Tällöin $a = 119 ∕ 114244$ , $b = 30 ∕ 28561$ .

Kaikkiaan saadaan epähomogeenisen yhtälön yleiseksi ratkaisuksi

y = C_{1} e^{- x} + C_{2} x e^{- x} + C_{3} x^{2} e^{- x} + C_{4} x^{3} e^{- x} + \frac{1}{24} x^{4} e^{- x} + \frac{119}{114244} sin 5 x + \frac{30}{28561} cos 5 x .

Linkkejä

vakiokertoiminen epähomogeeninen yhtälö
lineaarisen differentiaaliyhtälön operaattorimuoto

Simo K. Kivelä 26.04.2001