XML

Toisen kertaluvun lineaarisen ja homogeenisen differentiaaliyhtälön ratkaisuista

y_{1}

y_{2}

ja niiden derivaatoista muodostettu determinantti

W (y_{1}, y_{2}) = |\begin{matrix} y_{1} & y_{2} \\ y_{1}^{'} & y_{2}^{'} \end{matrix}| = y_{1} y_{2}^{'} - y_{2} y_{1}^{'}

on yhtälön Wronskin determinantti (puolalais-ranskalaisen matemaatikon Josef Maria Hoëné Wronskin mukaan; 1778 – 1853).

Korkeampien kertalukujen yhtälöiden Wronskin determinantit muodostetaan samankaltaisella tavalla. Jos kertaluku on

n

, determinantti on

W (y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}) = |\begin{matrix} y_{1} & y_{2} & \dots & y_{n} \\ y_{1}^{'} & y_{2}^{'} & \dots & y_{n}^{'} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ y_{1}^{(n - 1)} & y_{2}^{(n - 1)} & \dots & y_{n}^{(n - 1)} \end{matrix}| .

Tämä voidaan laskea kuten mikä tahansa determinantti kehittämällä jonkin vaaka- tai pystyrivin mukaan, jolloin saadaan lineaariyhdistely

n - 1

-rivisistä determinanteista. Esimerkiksi

j

:nnen vaakarivin mukaan kehitettäessä saataisiin

W (y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}) = \sum_{k = 1}^{n} {(- 1)}^{j + k} y_{k}^{(j - 1)} W_{j k},

missä

W_{j k}

tarkoittaa

(n - 1)

-rivistä determinanttia, joka saadaan alkuperäisestä poistamalla

j

:s vaaka- ja

k

:s pystyrivi. Jokainen determinantti

W_{j k}

kehitetään vastaavalla tavalla lineaariyhdistelyksi

(n - 2)

-rivisiä determinantteja jne., kunnes päädytään kaksirivisiin determinantteihin, jotka lasketaan kuten alussa on osoitettu.

Wronskin determinantin merkitys lineaaristen differentiaaliyhtälöiden teoriassa perustuu siihen, että se totetuttaa differentiaaliyhtälön

W^{'} + P_{n - 1} (x) W = 0

, missä

P_{n - 1}

on normaalimuodossa olevan differentiaaliyhtälön kertalukua

n - 1

olevan derivaatan kerroinfunktio. Tästä voidaan ratkaista Wronskin deteminantti, ilman että ratkaisuja

y_{k}

on tarpeen tuntea:

W (y_{1} (x), y_{2} (x), \dots, y_{n} (x)) = C e^{- \int P_{n - 1} (x) d x} .

Lausekkeesta näkyy, että Wronskin determinantti ei muuta merkkiään, jos normaalimuotoisen differentiaaliyhtälön kerroinfunktiot ovat jatkuvia. Minkä merkkinen determinantti on tai onko se

= 0

, riippuu vakiosta

C

eli siitä, mitkä ratkaisut

y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}

ovat kysymyksessä. Tärkein Wronskin determinanttia koskeva lause on seuraava:

Lause. Wronskin determinantti on

= 0

(ts.

C = 0

), jos ja vain jos homogeeniyhtälön ratkaisut

y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}

ovat lineaarisesti riippuvia.

Monia muitakin lineaarisen differentiaaliyhtälön ratkaisuja koskevia lauseita voidaan todistaa Wronskin determinanttiin pohjautuen.