XML

Lineaariyhtälön käsite

Jos kertalukua $n$ oleva differentiaaliyhtälö on muotoa

P_{n} (x) y^{(n)} + P_{n - 1} (x) y^{(n - 1)} + \dots + P_{1} (x) y^{'} + P_{0} (x) y = R (x),

sitä kutsutaan lineaariseksi differentiaaliyhtälöksi. Yhtälön vasempana puolena on derivaattojen lineaariyhdistely kertoimina muuttujan $x$ funktiot $P_{k} (x)$ .

Jos yhtälö jaetaan korkeimman kertaluvun derivaatan kertoimella $P_{n} (x)$ , se saadaan normaalimuotoon. Lineaarisia differentiaaliyhtälöitä käsitellään usein tässä muodossa.

Jos $R (x) = 0$ kaikilla muuttujan $x$ arvoilla, yhtälö on homogeeninen. Jos näin ei ole, se on epähomogeeninen.

Esimerkiksi ensimmäisen kertaluvun lineaarinen ja epähomogeeninen differentiaaliyhtälö on muotoa $P_{1} (x) y^{'} + P_{0} (x) y = R (x)$ , kolmannen kertaluvun normaalimuotoon saatettu homogeeniyhtälö on $y^{'''} + P_{2} (x) y^{''} + P_{1} (x) y^{'} + P_{0} (x) y = 0$ .

Lineaarinen differentiaaliyhtälö voidaan esittää lyhyemmin ottamalla käyttöön differentiaalioperaattori

L = \sum_{k = 0}^{n} P_{k} (x) D^{k},

missä $D$ on tavallinen derivointioperaattori ja sen potenssit tarkoittavat derivointia useampaan kertaan: esimerkiksi $D y = y^{'}$ , $D^{3} y = y^{'''}$ . Operaattorin nollas potenssi on identiteettioperaattori, ts. sillä operointi ei vaikuta mitään: $D^{0} y = y$ . Operaattoria $L$ käyttäen lineaarinen differentiaaliyhtälö saa yksinkertaisen muodon

L y = R .

Operaattori $L$ on ns. lineaarikuvaus, ts. sillä on ominaisuudet

L (y_{1} + y_{2}) = L y_{1} + L y_{2}, L (α y) = α L y,

missä $y$ , $y_{1}$ ja $y_{2}$ ovat mitä tahansa riittävän monta kertaa derivoituvia funktioita ja $α$ on vakio. Ominaisuudet ovat perusteltavissa derivoinnin alkeisominaisuuksilla: summa derivoidaan termeittäin, funktion vakiolla kertomisen ja derivoinnin järjestyksen saa vaihtaa.

Linkkejä

normaalimuoto

Simo K. Kivelä 29.03.2001