Faasiavaruus

Normaalimuotoinen kertalukua $n$ oleva differentiaaliyhtälöryhmä — esimerkiksi kertalukua $n$ olevaa yhtälöä vastaava normaaliryhmä — on

Tämän ratkaisu muodostuu $n$ funktiosta $y_1\left(t\right),\dots ,y_n\left(t\right)$. Näiden voidaan katsoa määrittelevän käyrän $n$-ulotteisessa avaruudessa: jokaista riippumattoman muuttujan arvoa $t$ vastaa käyrän piste, jonka koordinaatit ovat $\left(y_1\left(t\right),\dots ,y_n\left(t\right)\right)$. Avaruuden koordinaattiakseleilla ovat siis funktioiden $y_k$ arvot ja muuttuja $t$ on käyräparametrin asemassa. Kyseessä on ratkaisun esitys faasiavaruudessa.

Jos yhtälöryhmä on autonominen, ts. muotoa

voidaan käyrän tangenttivektori laskea suoraan differentiaaliyhtälöryhmästä:

Faasiavaruuteen muodostuu siis suuntakenttä.

Jos $n=3$, on yhtälöitä ja tuntemattomia funktioita kolme. Faasiavaruus on siis kolmiulotteinen ja ratkaisukäyrästä $\left(y_1\left(t\right),y_2\left(t\right),y_3\left(t\right)\right)$ voidaan piirtää kuvia projisioimalla kolmiulotteinen avaruus jollakin tavoin kaksiulotteiseen tasoon. Kyseessä voi olla projektio johonkin koordinaattitasoon tai ns. aksonometrinen kuva, projektio johonkin vinossa asennossa olevaan tasoon.

Jos $n>3$, tilanne on periaatteessa samankaltainen, mutta faasiavaruuden projektiot kaksiulotteiseen tasoon kadottavat enemmän tietoa $n$-ulotteisen avaruuden tilanteesta. Luonnollisinta onkin tyytyä johonkin koordinaattitasoon otettuun projektioon. Esimerkiksi projektio $y_1{y}_2$-tasoon saadaan tarkastelemalla vain kahta ensimmäistä funktiota: $\left(y_1\left(t\right),y_2\left(t\right)\right)$.

Esimerkkinä on aksonometrinen kuva Lorenzin systeemin

eräästä ratkaisukäyrästä kolmiulotteisessa faasiavaruudessa:

Linkkejä

differentiaaliyhtälöryhmä
autonominen yhtälö ja yhtälöryhmä
normaaliryhmä
faasitaso

Simo K. Kivelä 27.03.2001