Suuntakenttä

Differentiaaliyhtälö antaa melkoisesti tietoa ratkaisukäyristä ilman, että sitä on tarpeen ratkaista.

Normaalimuodossa oleva ensimmäisen kertaluvun yhtälö

ilmaisee suoraan pisteen $\left(x,y\right)$ kautta kulkevan ratkaisukäyrän tangenttisuunnan: $y^{\prime }$ on kulmakerroin. Tämä antaa mahdollisuuden suuntakentän piirtämiseen: xy-tason pistehilassa lasketaan kulmakertoimien arvot ja nämä ilmaistaan graafisessa esityksessä lyhyillä janoilla. Tulos antaa jo varsin hyvän kuvan ratkaisukäyrien muodostamasta parvesta.

Oheinen kuvio on yhtälöä $y^{\prime }=x^2-y^2$ vastaava suuntakenttä, jossa on muutamia ratkaisukäyriä.

Ne xy-tason käyrät, joilla ratkaisukäyrien kaltevuudella on vakioarvo, ovat differentiaaliyhtälön isokliinejä. Näiden yhtälö on muotoa $f\left(x,y\right)=p$, missä $p$ on kaltevuutta osoittava vakio. Erityisesti käyrän $f\left(x,y\right)=0$ pisteissä differentiaaliyhtälön ratkaisukäyrillä on vaakasuora tangentti.

Alueessa, missä $f\left(x,y\right)>0$, ovat differentiaaliyhtälön ratkaisufunktiot kasvavia; jos $f\left(x,y\right)<0$, ne ovat väheneviä.

Jos funktio $f\left(x,y\right)$ on määritelty koko tarkastelualueessa, saadaan jokaiseen pisteeseen yksikäsitteinen tangenttisuunta. Eri ratkaisukäyrät eivät tällöin voi leikata toisiaan (mutta voivat sivuta).

Linkkejä

yhtälön normaalimuoto

Simo K. Kivelä 27.3.2001