Adamsin – Bashforthin menetelmä

Kun differentiaaliyhtälö y′ = f(x,y(x)) integroidaan puolittain välin [xk,xk+1] yli, saadaan

y(xk+1) − y(xk) = ∫ xkxk+1 f(x,y(x))dx.

Adamsin – Bashforthin menetelmässä integroitava funktio f(x,y(x)) korvataan kolmannen asteen interpolaatiopolynomilla, jonka kuvaaja kulkee neljän viimeksi lasketun pisteen (xj,f(xj,yj)), j = k − 3,k − 2,k − 1,k, kautta. Muodostamalla polynomi ja integroimalla se saadaan integraalille approksimaatio

h 24 55f(xk,yk) − 59f(xk−1,yk−1) + 37f(xk−2,yk−2) − 9f(xk−3,yk−3).

Menetelmän laskentakaava on siten

yk+1 = yk + h 24(55fk − 59fk−1 + 37fk−2 − 9fk−3),

missä on merkitty lyhyesti fj = f(xj,yj). Kyseessä on moniaskelmenetelmä, koska uuden arvon laskeminen perustuu useaan aikaisempaan askeleeseen.

Jotta menetelmää voitaisiin käyttää, on tunnettava neljä aikaisempaa arvoa. Kaavaa ei siten voida käyttää alusta lähtien, vaan arvot y1 , y2 ja y3 on laskettava jollakin muulla menetelmällä, tyypillisesti jollakin yksiaskelmenetelmällä kuten esimerkiksi Rungen – Kuttan menetelmällä.

Linkkejä

numeerisen ratkaisemisen perusidea
Rungen – Kuttan menetelmä
alkuarvoprobleeman numeerinen ratkaiseminen, esimerkki (mma-versio)
Airyn yhtälön numeerinen ratkaiseminen, esimerkki (mma-versio)
Adamsin – Bashforthin menetelmän johto (mma-versio)
alkuarvoprobleeman numeerinen ratkaiseminen, esimerkki (mpl-versio)
Airyn yhtälön numeerinen ratkaiseminen, esimerkki (mpl-versio)
Adamsin – Bashforthin menetelmän johto (mpl-versio)

Simo K. Kivelä 10.4.2001