Eulerin menetelmä

Alkuarvoprobleeman

y′ = f(x,y),y(x 0) = y0

ratkaisun ensimmäisen asteen Taylorin kehitelmä pisteessä xk on

y(xk + h) = y(xk) + hy′(x k) + O(h2) = y(xk) + hf(xk,y(xk)) + O(h2).

Kun tästä jätetään jäännöstermi pois ja funktion y arvot korvataan niiden approksimaatioilla, saadaan Eulerin menetelmän iteraatiokaava:

yk+1 = yk + hf(xk,yk).

Numeerinen ratkaiseminen tapahtuu valitsemalla sopiva askelpituus h ja soveltamalla iteraatiokaavaa ensimmäisen kerran indeksillä k = 0, jolloin oikealle puolelle sijoitetaan alkuehdossa olevat arvot ja saadaan lasketuksi y1 . Tämä on approksimaatio ratkaisufunktion arvolle pisteessä x1 = x0 + h. Tämän jälkeen askel toistetaan arvolla k = 1 yleensä samaa askelpituutta h käyttäen, ja saadaan y2, joka approksimoi ratkaisufunktion arvoa pisteessä x2 = x1 + h, jne.

Koska f(xk , yk ) = y′(xk) on ratkaisufunktion kulmakerroin pisteessä xk, Eulerin menetelmässä edetään pisteestä (xk , yk ) ratkaisukäyrän tangentin suuntaan. Tästä aiheutuu luonnollisesti virhe, joka yleensä on sitä suurempi, mitä pitempää askelpituutta h käytetään. Differentiaaliyhtälön luonteesta riippuu, kumuloituvatko virheet useammassa askelessa vai eivät.

Oheiset kuvat esittävät alkuarvoprobleemojen y′ = y, y(0) = 1 ja y′ = −y, y(0) = 1 tarkkoja ratkaisuja ja niiden Eulerin menetelmän mukaisia approksimaatioita suhteellisen suurta askelpituutta h = 0.2 käytettäessä. Edellisessä tapauksessa virheet kumuloituvat, jälkimmäisessä alun kumuloitumisen jälkeen virhe katoaa.

PIC PIC

Eulerin menetelmä voidaan johtaa myös integroimalla differentiaaliyhtälö välin [xk , xk+1 ] yli:

y(xk+1) − y(xk) = ∫ xkxk+1 f(x,y(x))dx.

Kun integraalin approksimaatioksi otetaan välin pituuden h ja välin alkupisteessä lasketun funktion arvon f(xk,y(xk)) tulo, päädytään samaan iteraatiokaavaan kuin edellä.

Linkkejä

numeerisen ratkaisemisen perusidea
alkuarvoprobleeman numeerinen ratkaiseminen, esimerkki (mma-versio)
Airyn yhtälön numeerinen ratkaiseminen, esimerkki (mma-versio)
alkuarvoprobleeman numeerinen ratkaiseminen, esimerkki (mpl-versio)
Airyn yhtälön numeerinen ratkaiseminen, esimerkki (mpl-versio)

Simo K. Kivelä 10.4.2001