Parannettu Eulerin menetelmä

Integroimalla differentiaaliyhtälö y′ = f(x,y(x)) puolittain välin [xk,xk+1] yli saadaan

y(xk+1) − y(xk) = ∫ xkxk+1 f(x,y(x))dx.

Kun funktion y arvot korvataan niiden approksimaatioilla ja integraalin arvioimiseen käytetään puolisuunnikassääntöä, päädytään kaavaan

yk+1 = yk + 1 2h f(xk,yk) + f(xk+1,yk+1).

Tämä ei suoranaisesti anna mahdollisuutta differentiaaliyhtälön numeeriseen ratkaisemiseen, koska yk+1 esiintyy myös kaavan oikealla puolella.

Kaavaa voidaan kuitenkin soveltaa siten, että arvolle yk+1 lasketaan ensin karkeampi approksimaatio tavallisella Eulerin menetelmällä ja tätä käytetään eo. kaavan oikealla puolella. Kaavaa käytetään siis karkean arvon tarkentamiseen.

Laskeminen tapahtuu kahdessa vaiheessa:

ỹk+1 = yk + hf(xk,yk), yk+1 = yk + 1 2h f(xk,yk) + f(xk+1,ỹk+1).

Edellistä kaavaa kutsutaan ennustajaksi ja jälkimmäistä korjaajaksi. Menetelmän nimenä on parannettu Eulerin menetelmä tai myös Heunin menetelmä. Voidaan osoittaa, että se on jossain määrin tarkempi kuin tavallinen Eulerin menetelmä. Kumpikaan ei kuitenkaan ole käyttökelpoinen todellisissa ongelmissa.

Parannettu Eulerin menetelmä voidaan johtaa myös Taylorin kaavan avulla. Alkuarvoprobleeman

y′ = f(x,y),y(x 0) = y0

ratkaisun toisen asteen Taylorin kehitelmä pisteessä xk on

y(xk + h) = y(xk) + hy′(x k) + 1 2y′′(x k)h2 + O(h3) = y(xk) + hf(xk,y(xk)) + 1 2h2 f x(xk,y(xk)) + fy(xk,y(xk))f(xk,y(xk)) + O(h3).

On mahdollista (vaikka ei aivan yksinkertaista) osoittaa, että hakasulkulauseketta voidaan tarkkuutta menettämättä approksimoida lausekkeella

1 2h f(xk,y(xk)) + f(xk + h,y(xk) + hf(xk,y(xk))).

Tämä johtaa samaan kaksivaiheiseen kaavaan kuin edellä.

Linkkejä

numeerisen ratkaisemisen perusidea
tavallinen Eulerin menetelmä
alkuarvoprobleeman numeerinen ratkaiseminen, esimerkki (mma-versio)
Airyn yhtälön numeerinen ratkaiseminen, esimerkki (mma-versio)
alkuarvoprobleeman numeerinen ratkaiseminen, esimerkki (mpl-versio)
Airyn yhtälön numeerinen ratkaiseminen, esimerkki (mpl-versio)

Simo K. Kivelä 10.4.2001