Numeerinen ratkaiseminen: perusidea ensimmäisen kertaluvun yhtälölle

Ensimmäisen kertaluvun alkuarvoprobleeman

numeerisessa ratkaisemisessa tarkasteluvälille $\left[x_0,x_0+L\right]$ asetetaan jakopisteet $x_0$, $x_1$, $\dots$, $x_n$, missä $x_n=x_0+L$, ja pyritään laskemaan funktionarvoille $y\left(x_k\right)$ approksimaatiot $y_k$.

Jakopisteet $x_k$ ovat usein tasavälisiä, $x_{k+1}=x_k+h$, mutta välttämätöntä tämä ei ole. Yleensä on $L>0$, mutta voi myös olla $L<0$, jolloin väli ulottuu alkuehtopisteestä $x_0$ taaksepäin. Tällöin on $h<0$.

Approksimaatiot $y_k$ voidaan laskea useilla erilaisilla menetelmillä. Nämä ovat iteratiivisia, ts. seuraava arvo $y_{k+1}$ lasketaan aiemmin laskettujen arvojen $y_0$, $y_1$, $\dots$, $y_k$ avulla. Menetelmien perustana on yleensä jompikumpi seuraavista lähestymistavoista:

1) Oletetaan, että ratkaisufunktiolla $y\left(x\right)$ on Taylorin kehitelmä jakopisteessä $x_k$:

missä $O\left(h^{n+1}\right)$ tarkoittaa astetta $n$ olevaan Taylorin polynomiin liittyvää jäännöstermiä.

Hakasulkulauseke voidaan laskea, kun $x_k$ ja $y\left(x_k\right)$ tunnetaan: Differentiaaliyhtälön mukaan on $y^{\prime }=f\left(x,y\right)$, jolloin $y^{\prime }\left(x_k\right)=f\left(x_k,y\left(x_k\right)\right)$. Derivaatta $y^{\prime \prime }\left(x_k\right)$ saadaan derivoimalla differentiaaliyhtälö muuttujan $x$ suhteen, jolloin

ja sijoittamalla tähän $x=x_k$. Tässä $f_x$ ja $f_y$ tarkoittavat funktion $f$ osittaisderivaattoja. Korkeammat derivaatat saadaan vastaavalla tavalla derivoimalla edellä saatua yhtälöä edelleen. Lausekkeet käyvät kuitenkin varsin mutkikkaiksi.

Kiinnittämällä Taylorin polynomin aste $n$, pudottamalla jäännöstermi pois ja käyttämällä funktionarvolle $y\left(x_k\right)$ sille aiemmin laskettua approksimaatiota $y_k$ saadaan menetelmä funktionarvon $y\left(x_{k+1}\right)=y\left(x_k+h\right)$ approksimaation laskemiseen:

Tässä $g\left(x_k,y_0,y_1,\dots ,y_k,h\right)$ tarkoittaa joko edellä käsitellystä hakasulkulauseketta saatavaa termiä tai sille jollakin tavalla muodostettua, helpommin laskettavaa approksimaatiota. Approksimaatio voi perustua funktion $f$ osittaisderivaattojen sijasta yhteen tai useampaan jo laskettuun arvoon $y_0$, $y_1$, $\dots$, $y_k$.

2) Integroimalla differentiaaliyhtälö $y^{\prime }\left(x\right)=f\left(x,y\left(x\right)\right)$ puolittain välin $\left[x_k,x_k+h\right]$ yli saadaan

Oikean puolen integraalia ei kuitenkaan voida laskea, koska funktiota $y\left(x\right)$ ei tunneta.

Approksimoimalla funktiota $f\left(x,y\left(x\right)\right)$ jollakin tavoin välillä $\left[x_k,x_k+h\right]$, voidaan integraalille laskea likimääräisarvio $I\left(x_k,y_0,y_1,\dots ,y_k,h\right)$. Tämän perustana voidaan käyttää yhtä tai useampaa jo lasketuista arvoista $y_0$, $y_1$, $\dots$, $y_k$. Vastaavasti kuin edellä saadaan menetelmä funktionarvon $y\left(x_{k+1}\right)=y\left(x_k+h\right)$ approksimoimiseen:

Yksinkertaisia esimerkkejä em. ideoista ovat Eulerin menetelmä ja parannettu Eulerin menetelmä. Ne ovat kuitenkin liian epätarkkoja todellisissa ongelmissa. Käyttökelpoisia menetelmiä ovat esimerkiksi edelliseen lähestymistapaan perustuva Rungen – Kuttan menetelmä ja jälkimmäiseen perustuva Adamsin – Bashforthin menetelmä.

Linkkejä

numeerinen näkökulma
perusidea korkeamman kertaluvun yhtälölle
Eulerin menetelmä
parannettu Eulerin menetelmä
Rungen – Kuttan menetelmä
Adamsin – Bashforthin menetelmä
1. kertaluvun yhtälön numeerinen ratkaiseminen, esimerkki (mma-versio)
1. kertaluvun yhtälön numeerinen ratkaiseminen, esimerkki (mpl-versio)

Simo K. Kivelä 29.03.2001