XML

Rungen – Kuttan menetelmä

Samaan tapaan kuin parannetun Eulerin menetelmän johtamisessa käytetään toisen asteen Taylorin polynomia, voidaan tarkastella neljännen asteen polynomia. Tarkasteluista tulee tällöin suhteellisen monimutkaisia, mutta tuloksena saadaan klassinen Rungen – Kuttan menetelmä, joka voidaan luonnehtia useampikertaiseksi ennustaja-korjaaja-menetelmäksi.

Yhden askelen laskemisessa tarvittavat kaavat ovat seuraavat:

\begin{array}{l} k_{1} & = h f (x_{k}, y_{k}), \\ k_{2} & = h f (x_{k} + h ∕ 2, y_{k} + k_{1} ∕ 2), \\ k_{3} & = h f (x_{k} + h ∕ 2, y_{k} + k_{2} ∕ 2), \\ k_{4} & = h f (x_{k} + h, y_{k} + k_{3}), \\ y_{k + 1} & = y_{k} + \frac{1}{6} (k_{1} + 2 k_{2} + 2 k_{3} + k_{4}) . \end{array}

Ilman tarkempaa analyysia ei ole mahdollista nähdä, miksi kaavat ovat juuri sellaisia kuin ovat. Periaatteessa lopputulos on kuitenkin ymmärrettävissä: Kun luvuista $k_{1}$ , $k_{2}$ , $k_{3}$ , $k_{4}$ otetaan $h$ tekijäksi, voidaan termi $\frac{1}{6} (k_{1} + 2 k_{2} + 2 k_{3} + k_{4})$ mieltää funktion $f$ eräissä pisteissä laskettujen arvojen painotetuksi keskiarvoksi kerrottuna tarkasteluvälin pituudella $h$ . Se voi siis hyvin olla järkevä approksimaatio integraalille

\int_{x_{k}}^{x_{k + 1}} f (x, y (x)) d x .

Klassinen Rungen – Kuttan menetelmä on varsin hyvä ja melko laajasti käytetty menetelmä alkuarvoprobleemojen ratkaisemisessa. Vastaavantyyppisiä yhteisellä nimellä Rungen – Kuttan menetelmiksi kutsuttuja menetelmiä on useita erilaisia.

Linkkejä

numeerisen ratkaisemisen perusidea
parannettu Eulerin menetelmä
alkuarvoprobleeman numeerinen ratkaiseminen, esimerkki (mma-versio)
Airyn yhtälön numeerinen ratkaiseminen, esimerkki (mma-versio)
alkuarvoprobleeman numeerinen ratkaiseminen, esimerkki (mpl-versio)
Airyn yhtälön numeerinen ratkaiseminen, esimerkki (mpl-versio)

Simo K. Kivelä 10.4.2001