Ratkaisun olemassaolo ja yksikäsitteisyys

Keskeinen kysymys alkuarvoprobleeman

tutkimisessa on, millä edellytyksillä probleemalla toisaalta on ratkaisu ja toisaalta näitä ei ole enempää kuin yksi. Ratkaisulla tarkoitetaan tällöin jossakin pisteen $x_0$ ympäristössä derivoituvaa, yhtälön ja alkuehdon toteuttavaa funktiota riippumatta siitä, onko tämä lausuttavissa alkeisfunktioiden avulla tai löydettävissä jollakin integrointimenettelyllä.

Ratkaisun olemassaoloa ja yksikäsitteisyyttä koskeva päätulos on seuraava:

Lause. Funktio $f$ ja sen osittaisderivaatta $\frac{\partial f}{\partial y}$ olkoot jatkuvia suorakulmiossa $\left\{\left(x,y\right)\mid \mid x-x_0\mid \le a,\mid y-y_0\mid \le b\right\}$. Tällöin on olemassa väli $\left]x_0-h,x_0+h\right[$ siten, että alkuarvoprobleemalla

on yksikäsitteinen ratkaisu $y\left(x\right)$ tällä välillä.

Väli $\left]x_0-h,x_0+h\right[$ on muuttujan $x$ vaihteluvälin $\left[x_0-a,x_0+a\right]$ osaväli ja voi olla tätä huomattavastikin suppeampi.

Lauseen todistuksen pohjana on alkuarvoprobleemaa vastaavasta integraaliyhtälöstä

muodostettu rekursiokaava

Käyttämällä lähtöfunktiona esimerkiksi vakiofunktiota $y_0\left(x\right)=y_0$ (= alkuehdossa annettu arvo) muodostetaan rekursion avulla jono alkuehdon toteuttavia funktioita: $y_0\left(x\right),y_1\left(x\right),y_2\left(x\right),\dots$. Tämä jono osoitetaan suppenevaksi, jolloin sillä on rajafunktio olemassa. Rajafunktion voidaan osoittaa toteuttavan sekä differentiaaliyhtälön että alkuehdon. Lopuksi on vielä osoitettava ratkaisun yksikäsitteisyys, ts. näytettävä, että jos sekä $y\left(x\right)$ että $z\left(x\right)$ ovat alkuarvoprobleeman ratkaisuja, nämä ovat samat.

Esitetyssä muodossa lause koskee vain ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöitä. Täysin vastaavalla tavalla voidaan kuitenkin todistaa kertalukua $n$ olevan alkuarvoprobleeman ratkaisua koskeva lause, kun differentiaaliyhtälö korvataan vektorimuotoisella normaaliryhmällä $Y^{\prime }=F\left(x,Y\right)$ ja alkuehto kirjoitetaan muotoon

Todistukseen tarvitaan vain vähäisiä merkinnällisiä muutoksia, lähinnä itseisarvomerkkien korvaamisia vektorin normilla.

Lause esietään usein hieman vahvemmassa muodossa, jossa funktion $f$ osittaisderivaatan $\frac{\partial f}{\partial y}$ olemassaoloa ei tarvitse olettaa. Tällöin oletetaan, että funktio $f$ toteuttaa lauseessa mainitussa suorakulmiossa ns. tasaisen Lipschitzin ehdon $\mid f\left(x,y\right)-f\left(x,z\right)\mid \le L\mid y-z\mid$, missä $L$ on positiivinen vakio.

Tämän tyyppinen ehto on kuitenkin oleellinen: Vastaesimerkillä on mahdollista osoittaa, että lause ei päde, jos ehdosta luovutaan.

Linkkejä

alkuarvoprobleema, jonka ratkaisu ei ole yksikäsitteinen, esimerkki
alkuehto
normaaliryhmä
alkuarvoprobleemaa vastaava integraaliyhtälö

Simo K. Kivelä 27.03.2001