XML

Kertaluku ja normaalimuoto

Differentiaaliyhtälön kertaluku määräytyy sen mukaan, mikä on korkein derivaatan kertaluku, joka yhtälössä esiintyy.

Esimerkkiyhtälöiden

\begin{array}{l} y^{'} = cos x, \\ y^{''} + 4 y = 0, \\ x^{2} y^{''} - x y^{'} - y = 0, \\ y^{'} = x^{3} e^{- y} \end{array}

kertaluvut ovat siten 1, 2, 2 ja 1.

Laplacen differentiaaliyhtälö

u_{x x} + u_{y y} + u_{z z} = 0

on toista kertalukua, koska korkeimmat esiintyvät osittaisderivaatat ovat toista kertalukua.

Tavalliset differentiaaliyhtälöt esitetään usein ns. normaalimuodossa, ts. korkeimman kertaluvun derivaatan suhteen ratkaistuina. Ensimmäisen kertaluvun yhtälö on normaalimuodossa

y^{'} = f (x, y),

missä oikea puoli $f (x, y)$ on muuttujista $x$ ja $y$ riippuva lauseke. Toisen kertaluvun yhtälö saa vastaavasti muodon

y^{''} = f (x, y, y^{'})

ja kertalukua $n$ oleva yhtälö muodon

y^{(n)} = f (x, y, y^{'}, y^{''}, \dots, y^{(n - 1)}) .

Korkeimman kertaluvun derivaatan suhteen ratkaiseminen ei luonnollisesti ole aina algebrallisesti mahdollista.

Normaalimuodossa on oleellista, että korkeimman kertaluvun derivaatan kerroin on $= 1$ . Epäoleellista sen sijaan on, millä puolella yhtäläisyysmerkkiä termit sijaitsevat. Siten esimerkiksi muotoa $y^{'} - f (x, y) = 0$ voidaan aivan hyvin kutsua normaalimuodoksi.

Linkkejä

differentiaaliyhtälö

Simo K. Kivelä 26.03.2001