Vakiokertoiminen lineaariyhtälö ja faasitasoesitys

Vakiokertoimisen homogeeniyhtälön $y^{\prime \prime }+2y^{\prime }+y=0$ karakteristinen yhtälö on $r^2+2r+1=0$. Tällä on kaksinkertainen juuri $r=-1$, jolloin yleinen ratkaisu on

missä riippumatonta muuttujaa on merkitty $t$:llä. Ratkaisun derivaatta on

Yhtälöä vastaava normaaliryhmä on

Tämä on autonominen ja antaa siis mahdollisuuden piirtää faasitasoon ratkaisujen suuntakenttä. Faasitasossa olevat ratkaisukäyrät ovat käyriä, joiden parametriesitys saadaan yhtälön ratkaisusta:

Tässä $t$ on käyräparametrin asemassa. Alkuehto $y\left(0\right)=y_0$, $z\left(0\right)=z_0$ määrää suuntakenttäkuviossa pisteen $\left(y_0,z_0\right)$, jonka kautta ratkaisukäyrä kulkee, ja toisaalta vakioiden $C_1$ ja $C_2$ arvot parametriesityksessä.

Faasitasoesitys näyttää seuraavalta:

Kaikki ratkaisukäyrät suuntautuvat origoon, koska ${lim}_{t\to \infty }y\left(t\right)={lim}_{t\to \infty }z\left(t\right)=0$. Lukija pohtikoon, milloin origon lähestyminen on suoraviivaista ja miten tämä ilmenee funktioiden $y\left(t\right)$ ja $z\left(t\right)$ lausekkeista.

Faasitason ratkaisukäyrien yhtälö $F\left(y,z\right)=0$ voidaan löytää ratkaisemalla normaaliryhmä. Tämä voidaan nimittäin palauttaa yhteen ensimmäisen kertaluvun yhtälöön puolittain jakamalla:

Tulokseksi saadaan

Linkkejä

vakiokertoiminen homogeeninen yhtälö
palauttaminen ensimmäiseen kertalukuun (kohta 2)
autonominen yhtälö
normaaliryhmä
faasitaso

Simo K. Kivelä 26.04.2001