XML

Kahden yhtälön ryhmän ratkaiseminen yhteen yhtälöön palauttamalla

Differentiaaliyhtälöryhmästä

\{\begin{matrix} t^{2} x^{'} (t) + y (t) & = t^{2}, \\ y^{'} (t) + 2 x (t) & = t \end{matrix}

voidaan muodostaa vain funktiota $y$ koskeva yhtälö derivoimalla ryhmän jälkimmäinen yhtälö ja eliminoimalla saaduista kolmesta yhtälöstä $x$ ja $x^{'}$ . Yhtälöryhmä ei tosin ole normaalimuodossa, mutta tällä ei ole merkitystä.

Derivoinnilla saatava kolmen yhtälön ryhmä on

\{\begin{matrix} t^{2} x^{'} + y & = t^{2}, \\ y^{'} + 2 x & = t, \\ y^{''} + 2 x^{'} & = 1 . \end{matrix}

Kahdesta viimeisestä ratkaisemalla saadaan

x = \frac{1}{2} (t - y^{'}), x^{'} = \frac{1}{2} (1 - y^{''}),

ja kun nämä sijoitetaan ensimmäiseen yhtälöön, päädytään toisen kertaluvun yhtälöön

\frac{1}{2} t^{2} (1 - y^{''}) + y = t^{2} eli t^{2} y^{''} - 2 y = - t^{2} .

Itse asiassa funktiota $x$ ei edes tarvitse sijoittaa, mutta periaatteessa ensimmäinen yhtälö olisi saattanut sisältää myös tällaisen termin.

Funktiolle $y$ on siten saatu toisen kertaluvun lineaarinen epähomogeeninen yhtälö. Vastaava homogeeniyhtälö on Eulerin yhtälö. Menetelmät yhtälön ratkaisemiseen ovat siis olemassa ja ratkaisuksi saadaan

y = C_{1} t^{2} + \frac{C_{2}}{t} - \frac{1}{3} t^{2} ln |t| .

Toinen tuntematon funktio $x$ saadaan tämän jälkeen helposti:

x = \frac{1}{2} (t - y^{'}) = (\frac{2}{3} - C_{1}) t + \frac{C_{2}}{2 t^{2}} + \frac{1}{3} t ln |t| .

Periaatteessa funktio $x$ voitaisiin ratkaista myös derivoimalla alkuperäisen yhtälöryhmän ensimmäinen yhtälö ja eliminoimalla täten saaduista kolmesta yhtälöstä funktio $y$ . Tuloksena olisi toisen kertaluvun lineaariyhtälö funktiolle $x$ . Tämän ratkaiseminen johtaisi lausekkeeseen, jossa on kaksi uutta integroimisvakiota, esimerkiksi $D_{1}$ ja $D_{2}$ .

Ratkaisuun tulisi siis kaikkiaan neljä vakiota: $C_{1}$ , $C_{2}$ , $D_{1}$ , $D_{2}$ . Kuitenkin edellä saadussa ratkaisussa funktioiden $x$ ja $y$ lausekkeissa on vain kaksi riippumatonta vakiota, $C_{1}$ ja $C_{2}$ . Selityksenä on, että vakiot $C_{1}$ , $C_{2}$ , $D_{1}$ , $D_{2}$ eivät ole toisistaan riippumattomia, vaan niiden välillä on side-ehtoja, jotka eivät paljastu, jos tuntemattomat funktiot etsitään toisistaan riippumattomasti.

Linkkejä

ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön
differentiaaliyhtälöryhmän normaalimuoto
toisen kertaluvun lineaarinen ja epähomogeeninen yhtälö
Eulerin yhtälö, esimerkki

Simo K. Kivelä 26.04.2001