XML

Eksakti differentiaaliyhtälö

Käyräparven $F (x, y) = C$ differentiaaliyhtälöä johdettaessa yhtälö derivoidaan muuttujan $x$ suhteen, jolloin saadaan

F_{x} (x, y) + F_{y} (x, y) y^{'} = 0,

missä alaindeksit tarkoittavat osittaisderivaattoja. Tämä on parven differentiaaliyhtälö, koska se ei enää sisällä vakiota $C$ .

Kääntäen voidaan kysyä, onko mahdollista ratkaista differentiaaliyhtälö

P (x, y) + Q (x, y) y^{'} = 0

tulkitsemalla $P (x, y)$ ja $Q (x, y)$ jonkin funktion $F (x, y)$ osittaisderivaatoiksi, jolloin ratkaisu olisi $F (x, y) = C$ .

Yleisesti näin ei ole. Jos nimittäin olisi $P (x, y) = F_{x} (x, y)$ ja $Q (x, y) = F_{y} (x, y)$ , olisi sangen yleisillä edellytyksillä voimassa olevan sekaderivaattojen yhtäsuuruuden takia

P_{y} (x, y) = F_{x y} (x, y) = F_{y x} (x, y) = Q_{x} (x, y) .

Ainakin siis tulee olla voimassa

P_{y} (x, y) = Q_{x} (x, y) eli \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} .

Voidaan osoittaa, että tämä ehto on myös riittävä funktion $F$ olemassaololle. Tällöin sanotaan, että differentiaaliyhtälö on eksakti.

Eksakti differentiaaliyhtälö $P (x, y) + Q (x, y) y^{'} = 0$ voidaan siten ratkaista integroimalla funktio $P (x, y)$ muuttujan $x$ suhteen, jolloin saadaan

F (x, y) = \int P (x, y) d x + f (y) .

Tässä integroimisvakio $f (y)$ riippuu muuttujasta $y$ , joka on integroinnin kannalta vakio. Funktio $f (y)$ on määrättävä ehdosta $F_{y} (x, y) = Q (x, y)$ , minkä jälkeen differentiaaliyhtälön ratkaisu saadaan muodossa $F (x, y) = C$ .

Linkkejä

autonominen yhtälö
faasitaso
differentiaaliyhtälöryhmän normaalimuoto
ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön
separoituva yhtälö

Simo K. Kivelä 26.04.2001